Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\), à valeurs dans \(\R^3\), vérifiant : \(u'+v' = w\); \(w'=-v\); \(\int_{0}^{\infty}\|u'\|^2<+\infty\). On suppose qu’il existe une suite de terme général \(t_n\) tendant vers \(+\infty\) telle que \(u(t_n)\) tend vers \(a\in\R^3\).
1
Montrer que la suite de terme général \(u_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} u(t)\,d t\) tend vers \(a\).
2
Montrer que les suites de termes généraux \(v_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} v(t)\,d t\) et \(w_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} w(t)\,d t\) tendent vers \(0\).