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Soient $u,v,w$ trois applications bornées et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ , à valeurs dans $\R^3$ , vérifiant : $u'+v' = w$ ; $w'=-v$ ; $\int_{0}^{\infty}\|u'\|^2<+\infty$ . On suppose qu’il existe une suite de terme général $t_n$ tendant vers $+\infty$ telle que $u(t_n)$ tend vers $a\in\R^3$ .

Montrer que la suite de terme général $u_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} u(t)\,d t$ tend vers $a$ .

Montrer que les suites de termes généraux $v_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} v(t)\,d t$ et $w_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} w(t)\,d t$ tendent vers $0$ .

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