\(F=\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}\).

Pour obtenir la partie polynomiale, on fait une division euclidienne : \(X^5+X^4+1=(X^3-X)(X^2+X+1)+ X^2+X+1\). Ce qui donne \(F=X^2+X+1+F_1\), où \(F_1=\frac{X^2+X+1}{X^3-X}\). Puisque \(X^3-X=X(X-1)(X+1)\), la décomposition en éléments simples est de la forme \[F_1 = \frac{X^2+X+1}{X(X-1)(X+1)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}\]

Pour obtenir \(a\) :

on multiplie l’égalité par \(X\) : \(\frac{X(X^2+X+1)}{X(X-1)(X+1)}=X \left(\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}\right)\), on simplifie \(\frac{X^2+X+1}{(X-1)(X+1)}= a+\frac{bX}{X-1}+\frac{cX}{X+1}\), on remplace \(X\) par \(0\) et on obtient \(-1= a+0+0\), donc \(a=-1\).

De même, en multipliant par \(X-1\) et en remplaçant \(X\) par \(1\), il vient \(b=\frac{3}{2}\). Puis en multipliant par \(X+1\) et en remplaçant \(X\) par \(-1\), on trouve \(c=\frac{1}{2}\).

D’où \[\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X} = X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{\tfrac12}{X+1}+\frac{\tfrac32}{X-1}\] \(G=\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}\).

La partie polynomiale est nulle. La décomposition en éléments simples est de la forme \(G=\frac{a}{(X-1)^3}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X+1}\).

En multipliant les deux membres de l’égalité par \((X-1)^3\), en simplifiant puis en remplaçant \(X\) par \(1\), on obtient \(a=\frac32\). De même, en multipliant par \(X+1\), en simplifiant puis en remplaçant \(X\) par \(-1\), on obtient \(d=\frac18\). En multipliant par \(X\) et en regardant la limite quand \(X\to +\infty\), on obtient \(1=c+d\). Donc \(c=\frac78\). En remplaçant \(X\) par \(0\), il vient \(-1=-a+b-c+d\). Donc \(b = \frac54\).

Ainsi : \[G = \frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)} = \frac{\tfrac32}{(X-1)^3} + \frac{\tfrac54}{(X-1)^2} + \frac{\tfrac78}{X-1} + \frac{\tfrac18}{X+1}\] \(H=\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}\).

Puisque \(X^2+1\) et \(X^2+4\) sont irréductibles sur \(\Rr\), la décomposition en éléments simples sera de la forme \[\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{cX+d}{X^2+4}\]

En remplaçant \(X\) par \(0\), on obtient \(0=b+\frac{1}{4}d\). En multipliant les deux membres par \(X\), on obtient \(\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX^2+bX}{X^2+1} + \frac{cX^2+dX}{X^2+4}\). En calculant la limite quand \(X\to +\infty\), on a \(0=a+c\). Enfin, en évaluant les fractions en \(X=1\) et \(X=-1\), on obtient \(\frac{1}{10}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{5}\) et \(\frac{-1}{10}=\frac{-a+b}{2}+\frac{-c+d}{5}\).

La résolution du système donne \(b=d=0\), \(a=\frac{1}{3}\), \(c=-\frac{1}{3}\) et donc \[\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+1} - \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+4}\] \(K=\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}\).

Pour la partie polynomiale, on fait la division euclidienne: \[2X^4+X^3+3X^2-6X+1=(2X^3-X^2)(X+1)+(4X^2-6X+1)\] ce qui donne \(K=X+1+K_1\) où \(K_1=\frac{4X^2-6X+1}{2X^3-X^2}\). Pour trouver la décomposition en éléments simples de \(K_1\), on factorise son numérateur: \(2X^3-X^2=2X^2(X-\frac{1}{2})\), ce qui donne une décomposition de la forme \(K_1=\frac{a}{X^2}+\frac{b}{X}+\frac{c}{X-\frac{1}{2}}\).

On obtient alors \(a\) en multipliant les deux membres de l’égalité par \(X^2\) puis en remplaçant \(X\) par 0: \(a=-1\). On obtient de même \(c\) en multipliant par \(X-\frac{1}{2}\) et en remplaçant \(X\) par \(\frac{1}{2}\): \(c=-2\). Enfin on trouve \(b\) en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple \(X=1\), ou mieux en multipliant les deux membres par \(X\) et en passant à la limite pour \(X\to+\infty\): \(b=4\). Finalement: \[\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}=X+1-\frac{1}{X^2}+\frac{4}{X}-\frac{2}{X-\frac{1}{2}}\]

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