$F=\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$ .

Pour obtenir la partie polynomiale, on fait une division euclidienne : $X^5+X^4+1=(X^3-X)(X^2+X+1)+ X^2+X+1$ . Ce qui donne $F=X^2+X+1+F_1$ , où $F_1=\frac{X^2+X+1}{X^3-X}$ . Puisque $X^3-X=X(X-1)(X+1)$ , la décomposition en éléments simples est de la forme $F_1 = \frac{X^2+X+1}{X(X-1)(X+1)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}$

Pour obtenir $a$ :

on multiplie l’égalité par $X$ : $\frac{X(X^2+X+1)}{X(X-1)(X+1)}=X \left(\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}\right)$ ,
on simplifie $\frac{X^2+X+1}{(X-1)(X+1)}= a+\frac{bX}{X-1}+\frac{cX}{X+1}$ ,
on remplace $X$ par $0$ et on obtient $-1= a+0+0$ , donc $a=-1$ .

De même, en multipliant par $X-1$ et en remplaçant $X$ par $1$ , il vient $b=\frac{3}{2}$ . Puis en multipliant par $X+1$ et en remplaçant $X$ par $-1$ , on trouve $c=\frac{1}{2}$ .

D’où $\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X} = X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{\tfrac12}{X+1}+\frac{\tfrac32}{X-1}$ $G=\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$ .

La partie polynomiale est nulle. La décomposition en éléments simples est de la forme $G=\frac{a}{(X-1)^3}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X+1}$ .

En multipliant les deux membres de l’égalité par $(X-1)^3$ , en simplifiant puis en remplaçant $X$ par $1$ , on obtient $a=\frac32$ .
De même, en multipliant par $X+1$ , en simplifiant puis en remplaçant $X$ par $-1$ , on obtient $d=\frac18$ .
En multipliant par $X$ et en regardant la limite quand $X\to +\infty$ , on obtient $1=c+d$ . Donc $c=\frac78$ .
En remplaçant $X$ par $0$ , il vient $-1=-a+b-c+d$ . Donc $b = \frac54$ .

Ainsi : $G = \frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)} = \frac{\tfrac32}{(X-1)^3} + \frac{\tfrac54}{(X-1)^2} + \frac{\tfrac78}{X-1} + \frac{\tfrac18}{X+1}$ $H=\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}$ .

Puisque $X^2+1$ et $X^2+4$ sont irréductibles sur $\Rr$ , la décomposition en éléments simples sera de la forme $\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{cX+d}{X^2+4}$

En remplaçant $X$ par $0$ , on obtient $0=b+\frac{1}{4}d$ .
En multipliant les deux membres par $X$ , on obtient $\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX^2+bX}{X^2+1} + \frac{cX^2+dX}{X^2+4}$ . En calculant la limite quand $X\to +\infty$ , on a $0=a+c$ .
Enfin, en évaluant les fractions en $X=1$ et $X=-1$ , on obtient $\frac{1}{10}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{5}$ et $\frac{-1}{10}=\frac{-a+b}{2}+\frac{-c+d}{5}$ .

La résolution du système donne $b=d=0$ , $a=\frac{1}{3}$ , $c=-\frac{1}{3}$ et donc $\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+1} - \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+4}$ $K=\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$ .

Pour la partie polynomiale, on fait la division euclidienne: $2X^4+X^3+3X^2-6X+1=(2X^3-X^2)(X+1)+(4X^2-6X+1)$ ce qui donne $K=X+1+K_1$ où $K_1=\frac{4X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$ . Pour trouver la décomposition en éléments simples de $K_1$ , on factorise son numérateur: $2X^3-X^2=2X^2(X-\frac{1}{2})$ , ce qui donne une décomposition de la forme $K_1=\frac{a}{X^2}+\frac{b}{X}+\frac{c}{X-\frac{1}{2}}$ .

On obtient alors $a$ en multipliant les deux membres de l’égalité par $X^2$ puis en remplaçant $X$ par 0: $a=-1$ . On obtient de même $c$ en multipliant par $X-\frac{1}{2}$ et en remplaçant $X$ par $\frac{1}{2}$ : $c=-2$ . Enfin on trouve $b$ en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple $X=1$ , ou mieux en multipliant les deux membres par $X$ et en passant à la limite pour $X\to+\infty$ : $b=4$ . Finalement: $\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}=X+1-\frac{1}{X^2}+\frac{4}{X}-\frac{2}{X-\frac{1}{2}}$

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