Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).
1
Montrer que pour tout \(\theta\in[0,\pi]\), \(T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\).
2
Calculer \(T_0\) et \(T_1\).
3
Montrer la relation de récurrence \(T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x)-T_n(x)\), pour tout \(n \ge0\).
4
En déduire que \(T_n\) une fonction polynomiale de degré \(n\).