Polynômes — division euclidienne, factorisation et éléments simples

Montrer qu’il existe un polynôme $Q(X)$ et deux constantes $\alpha$, $\beta$ tels que : $$P_n(X) = Q(X)\,(X-1)^2 + \alpha X + \beta. \tag{1}$$

En évaluant $(1)$ en $X = 1$, trouver une première relation entre $\alpha$ et $\beta$.

En dérivant les deux membres de $(1)$ puis en évaluant en $X = 1$, trouver une deuxième relation.

En déduire l’expression du reste $R_n(X)$ en fonction de $n$.

Montrer que $3$ est une racine simple de $Q$.

Déterminer $S(X)$ le polynôme de degré $2$ vérifiant $Q(X) = (X-3)\,S(X)$. Le polynôme $S$ est-il irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ ?

Déterminer les racines complexes de $S$ et donner la décomposition en facteurs irréductibles de $Q$ dans $\mathbb{C}[X]$.

On cherche $a, b, c \in \mathbb{R}$ tels que : $$\frac{1}{Q(X)} = \frac{a}{X-3} + \frac{bX+c}{S(X)}.$$

• Calculer $\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\frac{X}{Q(X)}$ de deux façons différentes, puis en déduire que $a + b = 0$.

• Calculer $\displaystyle\lim_{X\to 3}\frac{X-3}{Q(X)}$ de deux façons différentes, en déduire $a$ puis $b$.

• En posant $X = 0$, déterminer $c$ puis donner la décomposition en éléments simples de $\dfrac{1}{Q(X)}$ sur $\mathbb{R}(X)$.