Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + 3X - 2\). On cherche le reste de sa division euclidienne par \(D(X) = (X-1)^2\).
Montrer qu’il existe un polynôme \(Q(X)\) et deux constantes \(\alpha\), \(\beta\) tels que : \[P_n(X) = Q(X)\,(X-1)^2 + \alpha X + \beta. \tag{1}\]
En évaluant \((1)\) en \(X = 1\), trouver une première relation entre \(\alpha\) et \(\beta\).
En dérivant les deux membres de \((1)\) puis en évaluant en \(X = 1\), trouver une deuxième relation.
En déduire l’expression du reste \(R_n(X)\) en fonction de \(n\).
On pose \(Q(X) = X^3 - 5X^2 + 8X - 6\).
Montrer que \(3\) est une racine simple de \(Q\).
Déterminer \(S(X)\) le polynôme de degré \(2\) vérifiant \(Q(X) = (X-3)\,S(X)\). Le polynôme \(S\) est-il irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\) ?
Déterminer les racines complexes de \(S\) et donner la décomposition en facteurs irréductibles de \(Q\) dans \(\mathbb{C}[X]\).
On cherche \(a, b, c \in \mathbb{R}\) tels que : \[\frac{1}{Q(X)} = \frac{a}{X-3} + \frac{bX+c}{S(X)}.\]
Calculer \(\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\frac{X}{Q(X)}\) de deux façons différentes, puis en déduire que \(a + b = 0\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{X\to 3}\frac{X-3}{Q(X)}\) de deux façons différentes, en déduire \(a\) puis \(b\).
En posant \(X = 0\), déterminer \(c\) puis donner la décomposition en éléments simples de \(\dfrac{1}{Q(X)}\) sur \(\mathbb{R}(X)\).