La division suivant les puissances décroissantes donne : \(\Phi=2+\Phi_1\) avec \[\Phi_1={4x^4-10x^3+8x^2-4x+1\over x^3(x-1)^2}= {A\over x^3}+{B\over x^2}+{C\over x}+{D\over(x-1)^2}+{E\over x-1}.\] Faire remarquer que la méthode de l’exercice précédent permettrait d’obtenir facilement \(A\) et \(D\) par multiplication par \(x^3\) et par \((x-1)^2\), mais qu’il resterait encore 3 coefficients à déterminer.
Il y a ici une méthode plus efficace : effectuer la division suivant les puissances croissantes, à l’ordre 3 (qui est l’exposant du facteur \(x\)) du numérateur \(1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4\) par \((x-1)^2\), ou plutôt par \(1-2x+x^2\) : \[\begin{equation} \label{eq22} 1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4=(1-2x+x^2)\times(1-2x+3x^2)+(-2x^3+x^4). \end{equation}\] En divisant les deux membres de ([eq22]) par \(x^3(x-1)^2\), on obtient \(A\), \(B\) et \(C\) d’un seul coup : \[\Phi_1={1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}+{x-2\over(x-1)^2}.\] Le calcul de \(D\) et \(E\) est alors immédiat par décomposition de \({x-2\over(x-1)^2}\) : méthode de l’exercice précédent, ou division suivant les puissances décroissantes de \(x-2\) par \(x-1\) : \(x-2=(x-1)-1\). \[{2x^5-8x^3+8x^2-4 x+1\over x^3(x-1)^2}=2+ {1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}-{1\over(x-1)^2}+{1\over x-1}.\]

Remarque : cette méthode est efficace pour un exposant assez grand (en gros à partir de 3). Elle peut être utilisée pour une fraction du type \({P(x)\over(x-a)^nQ(x)}\), mais il faut commencer par le changement de variable \(u=x-a\) avant de faire la division, puis bien entendu revenir ensuite à la variable \(x\).

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