La division suivant les puissances décroissantes donne : $\Phi=2+\Phi_1$ avec $\Phi_1={4x^4-10x^3+8x^2-4x+1\over x^3(x-1)^2}= {A\over x^3}+{B\over x^2}+{C\over x}+{D\over(x-1)^2}+{E\over x-1}.$ Faire remarquer que la méthode de l’exercice précédent permettrait d’obtenir facilement $A$ et $D$ par multiplication par $x^3$ et par $(x-1)^2$ , mais qu’il resterait encore 3 coefficients à déterminer.
Il y a ici une méthode plus efficace : effectuer la division suivant les puissances croissantes, à l’ordre 3 (qui est l’exposant du facteur $x$ ) du numérateur $1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4$ par $(x-1)^2$ , ou plutôt par $1-2x+x^2$ : $\begin{equation} \label{eq22} 1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4=(1-2x+x^2)\times(1-2x+3x^2)+(-2x^3+x^4). \end{equation}$ En divisant les deux membres de ([eq22]) par $x^3(x-1)^2$ , on obtient $A$ , $B$ et $C$ d’un seul coup : $\Phi_1={1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}+{x-2\over(x-1)^2}.$ Le calcul de $D$ et $E$ est alors immédiat par décomposition de ${x-2\over(x-1)^2}$ : méthode de l’exercice précédent, ou division suivant les puissances décroissantes de $x-2$ par $x-1$ : $x-2=(x-1)-1$ . ${2x^5-8x^3+8x^2-4 x+1\over x^3(x-1)^2}=2+ {1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}-{1\over(x-1)^2}+{1\over x-1}.$

Remarque : cette méthode est efficace pour un exposant assez grand (en gros à partir de 3). Elle peut être utilisée pour une fraction du type ${P(x)\over(x-a)^nQ(x)}$ , mais il faut commencer par le changement de variable $u=x-a$ avant de faire la division, puis bien entendu revenir ensuite à la variable $x$ .

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