Le polynôme nul est solution. Soit $P$ un polynôme non nul de degré $n$ solution alors $n=n-1+n-2$ et donc $n=3$ . Posons donc $P=aX^3+bX^2+cX+d$ avec $a\neq0$ .

$\begin{align*}\ensuremath P(2X)=P'(X)P''(X)&\Leftrightarrow8aX^3+4bX^2+2cX+d=(3aX^2+2bX+c)(6aX+2b)\\ &\Leftrightarrow(18a^2-8a)X^3+(18ab-4b)X^2+(4b^2+6ac-2c)X+2bc-d=0\\ &\Leftrightarrow18a^2-8a=18ab-4b=4b^2+6ac-2c=2bc-d=0\\ &\Leftrightarrow a=\frac{4}{9}\;\mbox{et}\;b=c=d=0. \end{align*}$

Les polynômes solutions sont $0$ et $\frac{4}{9}X^3$ .

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