Pas de division préliminaire dans ce cas… Forme de la décomposition : $\begin{equation} \label{eq31} \Phi={A\over x}+{Bx+C\over(x^2+1)^3}+{Dx+E\over(x^2+1)^2}+{Fx+G\over x^2+1}. \end{equation}$ La méthode du premier exercice permet d’obtenir $A$ , puis $B$ et $C$ (pour ces derniers : multiplication des deux membres de ([eq31]) par $x^2+1$ , puis limite quand $x$ tend vers $i$ ou vers $-i$ , avec séparation des parties réelle et imaginaire), mais c’est bien insuffisant pour conclure : il faut encore soustraire ${Bx+C\over(x^2+1)^3}$ , simplifier par $x^2+1$ , calculer $D$ et $E$ … (le faire faire quand même à titre d’entraînement).

On va ici se contenter de trouver $A$ ( $A=3$ ), puis faire la soustraction $\Phi_1=\Phi-{A\over x}$ . Faire faire le calcul aux étudiants ; leur faire remarquer que, sauf erreur de calcul, la fraction $\Phi_1$ doit se simplifier par $x$ . On trouve : $\Phi={3\over x}+{x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2\over(x^2+1)^3}.$ La fin de la décomposition se fait par divisions successives suivant les puissances décroissantes : division du numérateur $x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2$ par $x^2+1$ , puis du quotient obtenu par $x^2+1$ . ${4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}= {3\over x}+{x+1\over(x^2+1)^3}+{3\over(x^2+1)^2}+{x-2\over x^2+1}.$

Remarque : cette méthode des divisions successives est très pratique quand la fraction à décomposer a un dénominateur simple, c’est à dire comportant un dénominateur du type $Q^n$ où $Q$ est du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. Faire remarquer aussi comment on peut simplifier petit à petit en éliminant du dénominateur un dénominateur simple (méthode utilisée dans l’exercice 3 par le calcul de $\Phi-{A\over x}$ ).

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