Si $(X-1)^4$ divise $P+1$ , alors $1$ est racine de multiplicité au moins $4$ de $P+1$ , et donc racine de multiplicité au moins $3$ de $P'$ : alors $(X-1)^3$ divise $P'$ . De même $(X+1)^3$ divise $P'$ . Comme $(X-1)^3$ et $(X+1)^3$ sont premiers entre eux, nécessairement $(X-1)^3(X+1)^3$ divise $P'$ . Cherchons un polynôme de degré minimal : on remarque que les primitives de $\lambda(X-1)^3(X+1)^3=\lambda(X^2-1)^3=\lambda(X^6-3X^4+3X^2-1)$ sont de la forme $P(X)=\lambda(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X+a)$ . Si $P$ convient, nécessairement $1$ est racine de $P+1$ et $-1$ est racine de $P-1$ , ce qui donne $\lambda(\frac{-16}{35}+a)=-1$ et $\lambda(\frac{16}{35}+a)=1$ . D’où $\lambda a=0$ et comme on cherche $P$ non nul, il faut $a=0$ et $\lambda=\frac{35}{16}$ . On vérifie que $P_0(X)=\frac{35}{16}(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X)=\frac{5}{16}X^7-\frac{21}{16}X^5 +\frac{35}{16}X^3-\frac{35}{16}X$ est bien solution du problème: le polynôme $A=P_0+1$ admet $1$ comme racine, i.e. $A(1)=0$ , et sa dérivée admet $1$ comme racine triple donc $A'(1)=A''(1)=A'''(1)=0$ , ainsi $1$ est racine de multiplicité au moins $4$ de $A$ et donc $(X-1)^4$ divise $A=P+1$ . De même, $(X+1)^4$ divise $P-1$ .

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