Si \((X-1)^4\) divise \(P+1\), alors \(1\) est racine de multiplicité au moins \(4\) de \(P+1\), et donc racine de multiplicité au moins \(3\) de \(P'\) : alors \((X-1)^3\) divise \(P'\). De même \((X+1)^3\) divise \(P'\). Comme \((X-1)^3\) et \((X+1)^3\) sont premiers entre eux, nécessairement \((X-1)^3(X+1)^3\) divise \(P'\). Cherchons un polynôme de degré minimal : on remarque que les primitives de \[\lambda(X-1)^3(X+1)^3=\lambda(X^2-1)^3=\lambda(X^6-3X^4+3X^2-1)\] sont de la forme \(P(X)=\lambda(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X+a)\). Si \(P\) convient, nécessairement \(1\) est racine de \(P+1\) et \(-1\) est racine de \(P-1\), ce qui donne \(\lambda(\frac{-16}{35}+a)=-1\) et \(\lambda(\frac{16}{35}+a)=1\). D’où \(\lambda a=0\) et comme on cherche \(P\) non nul, il faut \(a=0\) et \(\lambda=\frac{35}{16}\). On vérifie que \[P_0(X)=\frac{35}{16}(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X)=\frac{5}{16}X^7-\frac{21}{16}X^5 +\frac{35}{16}X^3-\frac{35}{16}X\] est bien solution du problème: le polynôme \(A=P_0+1\) admet \(1\) comme racine, i.e. \(A(1)=0\), et sa dérivée admet \(1\) comme racine triple donc \(A'(1)=A''(1)=A'''(1)=0\), ainsi \(1\) est racine de multiplicité au moins \(4\) de \(A\) et donc \((X-1)^4\) divise \(A=P+1\). De même, \((X+1)^4\) divise \(P-1\).

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