Le sens \(\Leftarrow\) est trivial. Pour le sens \(\Rightarrow\), il suffit de vérifier la propriété lorsque \(P\) est irréductible, strictement positif sur \(\R^+\), et le seul cas non trivial est celui où \(P\) est de la forme : \(P = (X-a)^2 + b^2\) avec \(a>0\), \(b>0\). Dans ce cas, le coefficient de \(X^k\) dans \((X+1)^\ell P(X)\) est : \(C_\ell^k(a^2+b^2) - 2aC_\ell^{k-1} + C_\ell^{k-2}\), en convenant que \(C_x^y\) vaut \(0\) si l’on n’a pas \(0\le y\le x\). En mettant ce qui peut l’être en facteur et en ordonnant le reste suivant les puissances de \(k\), on est rammené à montrer que la quantité : \[k^2(a^2+b^2+2a+1) - k((a^2+b^2)(2\ell+3) + 2a(\ell+2) + 1) + \ell^2(a^2+b^2)\] est strictement positive pour tout \(k\in[[0,\ell+2]]\) si \(\ell\) est choisi convenablement. Or le discriminant par rapport à \(k\) est équivalent à \(-4\ell^2(2a+1)\) lorsque \(\ell\) tend vers \(+\infty\) donc un tel choix de \(\ell\) est possible.

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