Le sens $\Leftarrow$ est trivial. Pour le sens $\Rightarrow$ , il suffit de vérifier la propriété lorsque $P$ est irréductible, strictement positif sur $\R^+$ , et le seul cas non trivial est celui où $P$ est de la forme : $P = (X-a)^2 + b^2$ avec $a>0$ , $b>0$ . Dans ce cas, le coefficient de $X^k$ dans $(X+1)^\ell P(X)$ est : $C_\ell^k(a^2+b^2) - 2aC_\ell^{k-1} + C_\ell^{k-2}$ , en convenant que $C_x^y$ vaut $0$ si l’on n’a pas $0\le y\le x$ . En mettant ce qui peut l’être en facteur et en ordonnant le reste suivant les puissances de $k$ , on est rammené à montrer que la quantité : $k^2(a^2+b^2+2a+1) - k((a^2+b^2)(2\ell+3) + 2a(\ell+2) + 1) + \ell^2(a^2+b^2)$ est strictement positive pour tout $k\in[[0,\ell+2]]$ si $\ell$ est choisi convenablement. Or le discriminant par rapport à $k$ est équivalent à $-4\ell^2(2a+1)$ lorsque $\ell$ tend vers $+\infty$ donc un tel choix de $\ell$ est possible.

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