Lemme : Soit \(P\in \Cc[X]\) non constant, \(z_{0}\in \Cc,\) montrer que \[\forall \epsilon >0,\exists z\in D(z_{0},\epsilon )=\{z\in \Cc|\left| z-z_{0}\right| \leq \epsilon \},\left| P(z)\right| >\left| P(z_{0})\right| .\]
Indications : Ecrire \(P(z_{0}+h)=P(z_{0})+\sum_{m=k}^{\deg P}\frac{h^{m}}{m!} P^{(m)}(z_{0})\)où \(k\) est le plus petit entier strictement positif tel que \(P^{(i)}(z_{0})\neq 0.\)
On se propose de démontrer le théorème de d’Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine complexe.
Expliquer pourquoi le minimum de la fonction \(z\rightarrow \left| P(z)\right|\) est atteint sur un disque centré en \(0\), mettons \(D(0,\Rr),\) et expliquer pourquoi : \[\exists z_{0}\in \Cc,\left| P(z_{0})\right| = \inf\limits_{z\in \Cc}\left|P(z)\right| .\]
Montrer avec le lemme que \(P(z_{0})=0.\)