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Lemme : Soit $P\in \Cc[X]$ non constant, $z_{0}\in \Cc,$ montrer que $$\forall \epsilon >0,\exists z\in D(z_{0},\epsilon )=\{z\in \Cc|\left| z-z_{0}\right| \leq \epsilon \},\left| P(z)\right| >\left| P(z_{0})\right| .$$

Indications : Ecrire $P(z_{0}+h)=P(z_{0})+\sum_{m=k}^{\deg P}\frac{h^{m}}{m!} P^{(m)}(z_{0})$où $k$ est le plus petit entier strictement positif tel que $P^{(i)}(z_{0})\neq 0.$

On se propose de démontrer le théorème de d’Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine complexe.

Expliquer pourquoi le minimum de la fonction $z\rightarrow \left| P(z)\right|$ est atteint sur un disque centré en $0$, mettons $D(0,\Rr),$ et expliquer pourquoi : $$\exists z_{0}\in \Cc,\left| P(z_{0})\right| = \inf\limits_{z\in \Cc}\left|P(z)\right| .$$

Montrer avec le lemme que $P(z_{0})=0.$