Écrivons $F(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}$ avec $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux, avec $Q$ unitaire. La condition $\big(F(X)\big)^2=(X^2+1)^3$ devient $P^2=(X^2+1)^3Q^2$ . Ainsi $Q^2$ divise $P^2$ . D’où $Q^2=1$ , puisque $P^2$ et $Q^2$ sont premiers entre eux. Donc $Q=1$ (ou $-1$ ). Ainsi $F=P$ est un polynôme et $P^2=(X^2+1)^3$ .

En particulier $P^2$ est de degré $6$ , donc $P$ doit être de degré 3. Écrivons $P=aX^3+bX^2+cX+d$ , on développe l’identité $P^2=(X^2+1)^3$ :

$\begin{array}{c} X^6+3X^4+3X^2+1 = \\ a^2X^6 + 2abX^5 + (2ac+b^2)X^4 + (2ad+2bc)X^3 + (2bd+c^2)X^2 + 2cdX+d^2 \end{array}$

On identifie les coefficients : pour le coefficient de $X^6$ , on a $a=\pm1$ , puis pour le coefficient de $X^5$ , on a $b =0$ ; pour le coefficient de $1$ , on a $d=\pm 1$ , puis pour le coefficient de $X$ , on a $c=0$ . Mais alors le coefficient de $X^3$ doit vérifier $2ad+2bc=0$ , ce qui est faux.

Ainsi aucun polynôme ne vérifie l’équation $P^2=(X^2+1)^3$ , et par le raisonnement du début, aucune fraction non plus.

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