Pour chacun des \(8\) numérateurs possibles, il y a \(C_7^2=21\) dénominateurs et donc au total, \(8\times21=168\) termes.

\[\sum_{}^{}\frac{x_1}{x_2x_3}=\sum_{}^{}\frac{x_1^2x_4x_5x_6x_7x_8}{x_1x_2...x_8}=\frac{1}{\sigma_8}\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6=\frac{1}{3}\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6.\]

Ensuite,

\[\sigma_1\sigma_6=(\sum_{}^{}x_1)(\sum_{}^{}x_1x_2x_3x_4x_5x_6)=\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6+\sum_{}^{}x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7,\]

et donc,

\[\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6=\sigma_1\sigma_6-\sigma_7=(-1)(0)-1=-1.\]

Donc, \(\sum_{}^{}\frac{x_1}{x_2x_3}=-\frac{1}{3}\).

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