Pour $n\geq0$ , posons $P_n=(X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1$ . $P_n(0)=P_n(1)=P_n(\frac{1}{2})=0$ . $P_n$ admet $0$ , $1$ et $2X^3-3X^2+X$ pour racines et est donc divisible par $X(X-1)(2X-1)=2X^3-3X^2+X$ .

Si $n=0$ ou $n=1$ , le quotient est nul. Si $n=2$ , le quotient vaut $-2$ .

Soit $n\geq 3$ . On met succesivement $2X-1$ puis $X-1$ puis $X$ en facteur : $\begin{align*}\ensuremath P_n&=((X-1)^2)^n-(X^2)^n+(2X-1)=((X-1)2-X2)\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+(2X-1)\\ &=(2X-1)(-\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1)=(2X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1-X^{2n-2})\\ &=(2X-1)(-(X-1)\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-(X-1)\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-1}X^k-1-(X-1)^{2n-3})\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-3}X^k-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^k)\\ &= X(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2n-2k-3}- \sum_{k=1}^{2n-3}X^{k-1}-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^{k-1}) \end{align*}$

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