Pour \(n\geq0\), posons \(P_n=(X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1\). \(P_n(0)=P_n(1)=P_n(\frac{1}{2})=0\). \(P_n\) admet \(0\), \(1\) et \(\frac{1}{2}\) pour racines et est donc divisible par \(X(X-1)(2X-1)=2X^3-3X^2+X\).

Si \(n=0\) ou \(n=1\), le quotient est nul. Si \(n=2\), le quotient vaut \(-2\).

Soit \(n\geq 3\). On met succesivement \(2X-1\) puis \(X-1\) puis \(X\) en facteur : \[\begin{align*}\ensuremath P_n&=((X-1)^2)^n-(X^2)^n+(2X-1)=((X-1)2-X2)\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+(2X-1)\\ &=(2X-1)(-\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1)=(2X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1-X^{2n-2})\\ &=(2X-1)(-(X-1)\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-(X-1)\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-1}X^k-1-(X-1)^{2n-3})\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-3}X^k-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^k)\\ &= X(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2n-2k-3}- \sum_{k=1}^{2n-3}X^{k-1}-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^{k-1}) \end{align*}\]

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