Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que :
\(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on a \(P(z_0) = \frac {P(z_1) +\dots+ P(z_n)}n\).
On note \(\Phi(X) = \prod_{i=1}^n (X-z_i)\).
1
Calculer \(\frac {\Phi(z_0)}{z_0-z_k}\).
2
En déduire que \(\Phi(X) = \frac {(X-z_0)\Phi'(X)}n + \Phi(z_0)\).
3
Démontrer que \(z_1,\dots,z_n\) sont les sommets d’un polygone régulier de centre \(z_0\).
4
Réciproque ?