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Soient $z_0,z_1,\dots,z_n \in \C$ tels que : $\forall\ P \in \C_{n-1}[X]$ , on a $P(z_0) = \frac {P(z_1) +\dots+ P(z_n)}n$ .
On note $\Phi(X) = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$ .

Calculer $\frac {\Phi(z_0)}{z_0-z_k}$ .

En déduire que $\Phi(X) = \frac {(X-z_0)\Phi'(X)}n + \Phi(z_0)$ .

Démontrer que $z_1,\dots,z_n$ sont les sommets d’un polygone régulier de centre $z_0$ .

Réciproque ?

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