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Exprimer à l’aide de $P$ et de ses dérivées les sommes suivantes: $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\quad\quad \sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}\quad\quad \sum_{\substack{1\le k,\ell\le n \\ k\not= \ell}}\frac{1}{(X-a_k)(X-a_\ell)}$$

Montrer que si $z$ est racine de $P'$ mais pas de $P$, alors il existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des réels positifs ou nuls tels que $\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$ et $z=\sum_{k=1}^n\lambda_ka_k$. Si toutes les racines de $P$ sont réelles, que peut-on en déduire sur les racines de $P'$ ?