Soit \(n\in\Nn^*\) et \(P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\) (où les \(a_i\) sont des nombres complexes et où \(c\not=0\)).
1
Exprimer à l’aide de \(P\) et de ses dérivées les sommes suivantes: \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\quad\quad \sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}\quad\quad \sum_{\substack{1\le k,\ell\le n \\ k\not= \ell}}\frac{1}{(X-a_k)(X-a_\ell)}\]
2
Montrer que si \(z\) est racine de \(P'\) mais pas de \(P\), alors il existe \(\lambda_1,\hdots,\lambda_n\) des réels positifs ou nuls tels que \(\sum_{k=1}^n\lambda_k=1\) et \(z=\sum_{k=1}^n\lambda_ka_k\). Si toutes les racines de \(P\) sont réelles, que peut-on en déduire sur les racines de \(P'\) ?