Soit $n\in\Nn$ .

$\begin{align*}\ensuremath (X+1)^n-X^n-1\;\mbox{est divisible par}\;X^2+X+1&\Leftrightarrow j\;\mbox{et}\;j^2\;\mbox{sont racines de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &\Leftrightarrow j\;\mbox{est racine de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &(\mbox{car}\;(X+1)^n-X^{n-1}\;\mbox{est dans}\;\Rr[X])\\ &\Leftrightarrow(j+1)^n-j^n-1=0\Leftrightarrow(-j^2)^n-j^n-1=0. \end{align*}$

Si $n\in6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0$ .

Si $n\in1+6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=-j^2-j-1=0$ .

Si $n\in2+6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=j-j^2-1=2j\neq0$ .

Si $n\in3+6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0$ .

Si $n\in4+6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=j^2-j-1=2j^2\neq0$ .

Si $n\in5+6\Zz$ , $(-j^2)^n-j^n-1=-j-j^2-1=0$ .

En résumé, $(X+1)^n-X^n-1$ est divisible par $X^2+X+1$ si et seulement si $n$ est dans $(1+6\Zz)\cup(5+6\Zz)$ .

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