Soit \(n\in\Nn\).

\[\begin{align*}\ensuremath (X+1)^n-X^n-1\;\mbox{est divisible par}\;X^2+X+1&\Leftrightarrow j\;\mbox{et}\;j^2\;\mbox{sont racines de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &\Leftrightarrow j\;\mbox{est racine de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &(\mbox{car}\;(X+1)^n-X^{n-1}\;\mbox{est dans}\;\Rr[X])\\ &\Leftrightarrow(j+1)^n-j^n-1=0\Leftrightarrow(-j^2)^n-j^n-1=0. \end{align*}\]

Si \(n\in6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0\).

Si \(n\in1+6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=-j^2-j-1=0\).

Si \(n\in2+6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=j-j^2-1=2j\neq0\).

Si \(n\in3+6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0\).

Si \(n\in4+6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=j^2-j-1=2j^2\neq0\).

Si \(n\in5+6\Zz\), \((-j^2)^n-j^n-1=-j-j^2-1=0\).

En résumé, \((X+1)^n-X^n-1\) est divisible par \(X^2+X+1\) si et seulement si \(n\) est dans \((1+6\Zz)\cup(5+6\Zz)\).

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