On suppose \(P\ne 0\). Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) les racines de \(P\) de multiplicités \(m_1,\dots,m_p\) et \(n=m_1+\dots+m_p=\deg(P)\). On a \(\frac{P'}P = \sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}\) et \(\sum_i\frac{-m_i}{(X-\alpha_i)^2} = \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)' = \frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = \frac{n(n-1)}{(X-\alpha)(X-\beta)} - \Bigl(\sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}\Bigr)^2\) où \(\alpha,\beta\) sont les deux racines de \(P\) manquant dans \(P''\). Si \(\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}\) alors en comparant les termes en \(1/(X-\alpha_i)^2\) des membres extrêmes on trouve \(m_i=1\). De même si \(\alpha_i=\alpha\ne\beta\) ou l’inverse. Reste le cas \(\alpha_i=\alpha=\beta\) qui donne \(-m_i = n(n-1) - m_i^2\) donc \(m_i = n\) ce qui contredit l’hypothèse “\(P\) a deux racines distinctes”. Soient \(\alpha_i<\alpha_j\) les deux plus petites racines réelles de \(P\). Si \(\alpha_i\) est aussi racine de \(P''\) alors \(P\) et \(P''\) changent de signe en \(\alpha_i\) et, en remplaçant au besoin \(P\) par \(-P\), \(P\) est convexe positif sur \(]-\infty,\alpha_i[\) et concave négatif sur \(]\alpha_i,\alpha_j[\) ce qui est absurde. Donc \(\alpha_i\in\{\alpha,\beta\}\). De même pour la plus grande racine réelle de \(P\), ce qui prouve que \(\alpha\) et \(\beta\) sont réels. En identifiant les éléments de première espèce dans les deux décompositions de \(P'/P\) on obtient : \[\forall\ i\in{[[1,n]]},\ \sum_{j\ne i}\frac2{\alpha_i-\alpha_j} = \begin{cases}n(n-1)/(\alpha-\beta) & \text{ si } \alpha_i=\alpha,\cr n(n-1)/(\beta-\alpha) &\text{ si } \alpha_i=\beta,\cr 0 &\text{ sinon.}\cr\end{cases}\] En particulier pour \(\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}\) on a : \(\sum_{j\ne i}\frac{\overline{\alpha_i}-\overline{\alpha_j}}{|\alpha_i-\alpha_j|^2} = 0\) ce qui signifie que \(\overline{\alpha_i}\) est barycentre des \(\overline{\alpha_j}\) avec des coefficients positifs, donc appartient à l’enveloppe convexe des \(\overline{\alpha_j}\), \(j\ne i\). Il en va de même sans les barres, et donc l’ensemble des racines de \(P\) n’a pas d’autres points extrémaux que \(\alpha\) et \(\beta\) ; il est inclus dans \([\alpha,\beta]\) donc dans \(\R\).

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