On suppose $P\ne 0$ . Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ les racines de $P$ de multiplicités $m_1,\dots,m_p$ et $n=m_1+\dots+m_p=\deg(P)$ . On a $\frac{P'}P = \sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}$ et $\sum_i\frac{-m_i}{(X-\alpha_i)^2} = \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)' = \frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = \frac{n(n-1)}{(X-\alpha)(X-\beta)} - \Bigl(\sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}\Bigr)^2$ où $\alpha,\beta$ sont les deux racines de $P$ manquant dans $P''$ . Si $\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}$ alors en comparant les termes en $1/(X-\alpha_i)^2$ des membres extrêmes on trouve $m_i=1$ . De même si $\alpha_i=\alpha\ne\beta$ ou l’inverse. Reste le cas $\alpha_i=\alpha=\beta$ qui donne $-m_i = n(n-1) - m_i^2$ donc $m_i = n$ ce qui contredit l’hypothèse “ $P$ a deux racines distinctes”. Soient $\alpha_i<\alpha_j$ les deux plus petites racines réelles de $P$ . Si $\alpha_i$ est aussi racine de $P''$ alors $P$ et $P''$ changent de signe en $\alpha_i$ et, en remplaçant au besoin $P$ par $-P$ , $P$ est convexe positif sur $]-\infty,\alpha_i[$ et concave négatif sur $]\alpha_i,\alpha_j[$ ce qui est absurde. Donc $\alpha_i\in\{\alpha,\beta\}$ . De même pour la plus grande racine réelle de $P$ , ce qui prouve que $\alpha$ et $\beta$ sont réels. En identifiant les éléments de première espèce dans les deux décompositions de $P'/P$ on obtient : $\forall\ i\in{[[1,n]]},\ \sum_{j\ne i}\frac2{\alpha_i-\alpha_j} = \begin{cases}n(n-1)/(\alpha-\beta) & \text{ si } \alpha_i=\alpha,\cr n(n-1)/(\beta-\alpha) &\text{ si } \alpha_i=\beta,\cr 0 &\text{ sinon.}\cr\end{cases}$ En particulier pour $\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}$ on a : $\sum_{j\ne i}\frac{\overline{\alpha_i}-\overline{\alpha_j}}{|\alpha_i-\alpha_j|^2} = 0$ ce qui signifie que $\overline{\alpha_i}$ est barycentre des $\overline{\alpha_j}$ avec des coefficients positifs, donc appartient à l’enveloppe convexe des $\overline{\alpha_j}$ , $j\ne i$ . Il en va de même sans les barres, et donc l’ensemble des racines de $P$ n’a pas d’autres points extrémaux que $\alpha$ et $\beta$ ; il est inclus dans $[\alpha,\beta]$ donc dans $\R$ .

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