\[\begin{align*}\ensuremath 1&=(X+(1-X))^{n+m-1}=\sum_{k=0}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k} +\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k}\\ &=(1-X)^m\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n-1-k}+X^n\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k} \end{align*}\]

Soient \(U=\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k}\) et \(V=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n-1-k}\). \(U\) et \(V\) sont des polynômes tels que \(UX^n+V(1-X)^m=1\). De plus, pour \(n\leq k\leq n+m-1\), \(\mbox{deg}(X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k})=k-n+n+m-1-k=m-1<m\) et donc \(\mbox{deg}(U)<m\) et de même pour \(0\leq k\leq n-1\), \(\mbox{deg}(X^k(1-X)^{n-1-k})=k+n-1-k=n-1<n\) et \(\mbox{deg}(V)<n\).

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