Soit $x$ dans $[-1,1]$ et $\varepsilon>0$ .

Soit $\theta=\Arcsin x$ (donc $\theta$ est élément de $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et $x=\sin\theta$ ). Pour $k$ entier naturel non nul donné, il existe un entier $n_k$ tel que $\ln(n_k)\leq \theta+2k\pi<\ln(n_k+1)$ à savoir $n_k=E(e^{\theta+2k\pi})$ .

Mais,

$0<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)=\ln(1+\frac{1}{n_k})<\frac{1}{n_k}$

(d’après l’inégalité classique $\ln(1+x)<x$ pour $x>0$ , obtenue par exemple par l’étude de la fonction $f~:~x\mapsto\ln(1+x)-x$ ). Donc,

$0\leq\theta+2k\pi-\ln(n_k)<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)<\frac{1}{n_k},$

puis

$\begin{align*}\ensuremath |\sin(\theta)-\sin(\ln(n_k))|&=2|\sin(\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2})\cos(\frac{\theta+2k\pi+\ln(n_k)}{2})|\\ &\leq2\left|\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2}\right|=|\theta+2k\pi-\ln(n_k)|<\frac{1}{n_k}. \end{align*}$

Soit alors $\varepsilon$ un réel strictement positif.

Puisque $n_k=E(e^{\theta+2k\pi})$ tend vers $+\infty$ quand $k$ tend vers $+\infty$ , on peut trouver un entier $k$ tel que $\frac{1}{n_k}<\varepsilon$ et pour cet entier $k$ , on a $|\sin\theta-\sin(\ln(n_k))|<\varepsilon$ .

On a montré que $\forall x\in[-1,1],\;\forall\varepsilon>0,\;\exists n\in\Nn^*/\;|x-\sin(\ln n)|<\varepsilon$ , et donc $\{\sin(\ln n),\;n\in\Nn^*\}$ est dense dans $[-1,1]$ .

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