Soit \(x\) dans \([-1,1]\) et \(\varepsilon>0\).

Soit \(\theta=\Arcsin x\) (donc \(\theta\) est élément de \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) et \(x=\sin\theta\)). Pour \(k\) entier naturel non nul donné, il existe un entier \(n_k\) tel que \(\ln(n_k)\leq \theta+2k\pi<\ln(n_k+1)\) à savoir \(n_k=E(e^{\theta+2k\pi})\).

Mais,

\[0<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)=\ln(1+\frac{1}{n_k})<\frac{1}{n_k}\]

(d’après l’inégalité classique \(\ln(1+x)<x\) pour \(x>0\), obtenue par exemple par l’étude de la fonction \(f~:~x\mapsto\ln(1+x)-x\)). Donc,

\[0\leq\theta+2k\pi-\ln(n_k)<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)<\frac{1}{n_k},\]

puis

\[\begin{align*}\ensuremath |\sin(\theta)-\sin(\ln(n_k))|&=2|\sin(\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2})\cos(\frac{\theta+2k\pi+\ln(n_k)}{2})|\\ &\leq2\left|\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2}\right|=|\theta+2k\pi-\ln(n_k)|<\frac{1}{n_k}. \end{align*}\]

Soit alors \(\varepsilon\) un réel strictement positif.

Puisque \(n_k=E(e^{\theta+2k\pi})\) tend vers \(+\infty\) quand \(k\) tend vers \(+\infty\), on peut trouver un entier \(k\) tel que \(\frac{1}{n_k}<\varepsilon\) et pour cet entier \(k\), on a \(|\sin\theta-\sin(\ln(n_k))|<\varepsilon\).

On a montré que \(\forall x\in[-1,1],\;\forall\varepsilon>0,\;\exists n\in\Nn^*/\;|x-\sin(\ln n)|<\varepsilon\), et donc \(\{\sin(\ln n),\;n\in\Nn^*\}\) est dense dans \([-1,1]\).

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