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Pour $A \subset E$, montrer que $f^{-1}(f(A)) \in {\cal S}$.

Montrer que ${\cal S}$ est stable par intersection et réunion.

Soient $X \in {\cal S}$ et $A \subset E$ tels que $X \cap A = \varnothing$. Montrer que $X \cap f^{-1}(f(A)) = \varnothing$.

Soient $X$ et $Y \in {\cal S}$. Montrer que $\overline X$ et $Y \setminus X$ appartienent à ${\cal S}$.

Montrer que l’application ${\cal S} \to {{{\cal P}}(f(E))}, A \mapsto {f(A)}$ est une bijection.