Soit \(f:E\to F\) une application, et \({\cal S} = \{ X \subset E\) tq \(f^{-1}(f(X)) = X \}\).
1
Pour \(A \subset E\), montrer que \(f^{-1}(f(A)) \in {\cal S}\).
2
Montrer que \({\cal S}\) est stable par intersection et réunion.
3
Soient \(X \in {\cal S}\) et \(A \subset E\) tels que \(X \cap A = \varnothing\). Montrer que \(X \cap f^{-1}(f(A)) = \varnothing\).
4
Soient \(X\) et \(Y \in {\cal S}\). Montrer que \(\overline X\) et \(Y \setminus X\) appartienent à \({\cal S}\).
5
Montrer que l’application \({\cal S} \to {{{\cal P}}(f(E))}, A \mapsto {f(A)}\) est une bijection.