Supposons $g\circ f$ injective, et montrons que $f$ est injective : soient $a,\ a' \in A$ avec $f(a)=f(a')$ donc $g\circ f(a)=g\circ f(a')$ or $g\circ f$ est injective donc $a= a'$ . Conclusion on a montré : $\forall a,a' \in A \quad f(a)=f(a') \Rightarrow a=a'$ c’est la définition de $f$ injective. Supposons $g\circ f$ surjective, et montrons que $g$ est surjective : soit $c \in C$ comme $g\circ f$ est surjective il existe $a \in A$ tel que $g\circ f(a)=c$ ; posons $b = f(a)$ , alors $g(b)=c$ , ce raisonnement est valide quelque soit $c \in C$ donc $g$ est surjective. Un sens est simple $(\Leftarrow)$ si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g\circ f$ l’est également. De même avec $h\circ g$ .

Pour l’implication directe $(\Rightarrow)$ : si $g\circ f$ est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d’après la question 2. $g$ est surjective.

Si $h\circ g$ est bijective, elle est en particulier injective, donc $g$ est injective (c’est le 1.). Par conséquent $g$ est à la fois injective et surjective donc bijective.

Pour finir $f=g^{-1} \circ (g\circ f)$ est bijective comme composée d’applications bijectives, de même pour $h$ .

exo7 193