Supposons \(g\circ f\) injective, et montrons que \(f\) est injective : soient \(a,\ a' \in A\) avec \(f(a)=f(a')\) donc \(g\circ f(a)=g\circ f(a')\) or \(g\circ f\) est injective donc \(a= a'\). Conclusion on a montré : \[\forall a,a' \in A \quad f(a)=f(a') \Rightarrow a=a'\] c’est la définition de \(f\) injective. Supposons \(g\circ f\) surjective, et montrons que \(g\) est surjective : soit \(c \in C\) comme \(g\circ f\) est surjective il existe \(a \in A\) tel que \(g\circ f(a)=c\) ; posons \(b = f(a)\), alors \(g(b)=c\), ce raisonnement est valide quelque soit \(c \in C\) donc \(g\) est surjective. Un sens est simple \((\Leftarrow)\) si \(f\) et \(g\) sont bijectives alors \(g\circ f\) l’est également. De même avec \(h\circ g\).

Pour l’implication directe \((\Rightarrow)\) : si \(g\circ f\) est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d’après la question 2. \(g\) est surjective.

Si \(h\circ g\) est bijective, elle est en particulier injective, donc \(g\) est injective (c’est le 1.). Par conséquent \(g\) est à la fois injective et surjective donc bijective.

Pour finir \(f=g^{-1} \circ (g\circ f)\) est bijective comme composée d’applications bijectives, de même pour \(h\).

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