L1 Algèbre Injection, surjection, bijection Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 2894

Soit f:E→Ff: E \to F une application, et GG un troisième ensemble ayant au moins deux éléments. On construit deux nouvelles applications : f∗:EG→FG,φ↦f∘φ et f∗GF→GE,φ↦φ∘f{f_*} : {E^G} \to {F^G}, {\varphi} \mapsto {f\circ\varphi} \qquad\text{ et } \qquad {f^*} {G^F} \to {G^E}, {\varphi}\mapsto {\varphi\circ f} Montrer que :

1

ff est injective   ⟺  f∗\iff f_* est injective   ⟺  f∗\iff f^* est surjective.

2

ff est surjective   ⟺  f∗\iff f_* est surjective   ⟺  f∗\iff f^* est injective.

Exercice P8jr

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