Soient \(E,F\) deux ensembles. On dit que :
| \(E\) est moins puissant que \(F\) | s’il existe une injection | \(f:\ E \to F\) |
| \(E\) est plus puissant que \(F\) | s’il existe une surjection | \(f:\ E \to F\) |
| \(E\) et \(F\) sont équipotents | s’il existe une bijection | \(f:\ E \to F\). |
1
Démontrer que : (\(E\) est moins puissant que \(F\)) \(\iff\) (\(F\) est plus puissant que \(E\)).
2
Montrer que \(\N\), \(\N^*\), \(\{n \in \N\) tq \(n\) est divisible par \(3 \}\), et \(\Z\) sont deux à deux équipotents.
3
Démontrer que \(E\) est moins puissant que \({\cal P}(E)\).
4
Soit \(f : E \to {{\cal P}(E)}\) quelconque et \(A = \{ x \in E\) tq \(x \notin f(x) \}\). Prouver que \(A \notin f(E)\).
5
Est-ce que \(E\) et \({\cal P}(E)\) peuvent être équipotents ?
6
Soit \(G\) un troisième ensemble. Si \(E\) est moins puissant que \(F\), démontrer que \(E^G\) est moins puissant que \(F^G\).