Soit \(E\) un ensemble et \(f : E \to E\) bijective.
La conjugaison par \(f\) est l’application \({\Phi_f} : {E^E} \to {E^E}, \phi \mapsto {f\circ \phi\circ f^{-1}}\)
1
Montrer que \(\Phi_f\) est une bijection de \(E^E\).
2
Simplifier \(\Phi_f \circ \Phi_g\).
3
Simplifier \(\Phi_f(\phi) \circ \Phi_f(\psi)\).
4
Soient \(\cal I\), \(\cal S\), les sous-ensembles de \(E^E\) constitués des injections et des surjections. Montrer que \(\cal I\) et \(\cal S\) sont invariants par \(\Phi_f\).
5
Lorsque \(\phi\) est bijective, qu’est-ce que \(\Bigl(\Phi_f(\phi)\Bigr)^{-1}\) ?