L1 Algèbre Injection, surjection, bijection Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 2897

Soit EE un ensemble et f:E→Ef : E \to E bijective.

La conjugaison par ff est l’application Φf:EE→EE,ϕ↦f∘ϕ∘f−1{\Phi_f} : {E^E} \to {E^E}, \phi \mapsto {f\circ \phi\circ f^{-1}}

1

Montrer que Φf\Phi_f est une bijection de EEE^E.

2

Simplifier Φf∘Φg\Phi_f \circ \Phi_g.

3

Simplifier Φf(ϕ)∘Φf(ψ)\Phi_f(\phi) \circ \Phi_f(\psi).

4

Soient I\cal I, S\cal S, les sous-ensembles de EEE^E constitués des injections et des surjections. Montrer que I\cal I et S\cal S sont invariants par Φf\Phi_f.

5

Lorsque ϕ\phi est bijective, qu’est-ce que (Φf(ϕ))−1\Bigl(\Phi_f(\phi)\Bigr)^{-1} ?

Exercice TOQh

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