\(f\) est bien une application de \(\Nn^2\) dans \(\Nn\) car, pour tout couple \((x,y)\) d’entiers naturels, l’un des deux entiers \(x+y\) ou \(x+y+1\) est pair et donc, \(\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}\) est bien un entier naturel (on peut aussi constater que \(\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=1+2+...+(x+y)\) est entier pour \(x+y\geq1\)).

Remarque. La numérotation de \(\Nn^2\) a été effectuée de la façon suivante :

\[\]

Sur une parallèle à la droite d’équation \(y = -x\), la somme \(x+y\) est constante. Il en est de même de l’expression \(\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}\) et quand on descend de \(1\) en \(y\), on avance de \(1\) dans la numérotation.

Lemme. \(\forall n\in\Nn,\;\exists!p\in\Nn/\;\frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}\).

Démonstration. Pour démontrer ce lemme, on pourrait se contenter de constater que la suite des nombres triangulaires \(\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)_{p\geq0}\) est strictement croissante. Néanmoins, on va fournir explicitement \(p\) en fonction de \(n\). Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels. \[\begin{align*} \frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}&\Leftrightarrow p^2+p-2n\leq0\;\mbox{et}\;p^2+3p+2-2n>0\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\;\mbox{et}\;p>\frac{-3+\sqrt{8n+1}}{2}=-1+\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}<p+1\Leftrightarrow p= E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right). \end{align*}\] Le lemme est démontré.

Montrons que \(f\) est surjective (et au passage, déterminons l’antécédent d’un entier \(n\) donné). Soient \(n\) un entier naturel et \(p=E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)\) (\(p\) est un entier naturel). On pose \(\left\{ \begin{array}{l} x+y=p\\ y=n-\frac{p(p+1)}{2} \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} y=n-\frac{p(p+1)}{2}\\ x=p-y=\frac{p(p+3)}{2}-n \end{array} \right.\). Tout d’abord, \(y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=n-\frac{p(p+1)}{2}+\frac{p(p+1)}{2}=n\). Mais il reste encore à vérifier que \(x\) et \(y\) ainsi définis (qui sont à l’évidence des entiers relatifs) sont bien des entiers naturels. Puisque \(\frac{p(p+1)}{2}\) est un entier naturel et que \(n\geq\frac{p(p+1)}{2}\), \(y\) est bien un entier naturel. Ensuite, \(\frac{p(p+3)}{2}=\frac{p(p+1)}{2}+p\) est aussi un entier naturel et de plus,

\[\frac{p(p+3)}{2}-n\geq\frac{p(p+3)}{2}-\left(\frac{(p+1)(p+2)}{2}-1\right)=0,\] et \(x\) est bien un entier naturel. Ainsi, pour \(n\) naturel donné, en posant \(p= E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)\) puis \(x=\frac{p(p+3)}{2}-n\) et \(y=n-\frac{p(p+1)}{2}\), \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels tels que \(f((x,y))=n\). \(f\) est donc surjective. Montrons que \(f\) est injective. Pour cela, on montre que si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels vérifiant \(y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=n\), alors nécessairement, \(x+y=p\) (et \(y=n-\frac{p(p+1)}{2})\). Soient donc \(x\) et \(y\) deux entiers naturels. On a :

\[\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}\leq\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y=n<\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+(x+y+1)=\frac{(x+y+1)(x+y+2)}{2},\] et le lemme montre que \(x+y=p\). L’unicité du couple \((x,y)\) est donc démontrée. \(f\) est une application injective et surjective et donc \(f\) est bijective. Sa réciproque est \(\begin{array}[t]{cccc} f^{-1}~:&\Nn&\rightarrow&\Nn^2\\ &n&\mapsto&(\frac{p(p+3)}{2}-n,n-\frac{p(p+1)}{2}) \end{array}\) où \(p=E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)\).

exo7 5118