$f$ est bien une application de $\Nn^2$ dans $\Nn$ car, pour tout couple $(x,y)$ d’entiers naturels, l’un des deux entiers $x+y$ ou $x+y+1$ est pair et donc, $\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$ est bien un entier naturel (on peut aussi constater que $\begin{array}{cccc} f~:&\Nn^2&\rightarrow&\Nn\\ &(x,y)&\mapsto&y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2} \end{array}$ est entier pour $x+y\geq1$ ).

Remarque. La numérotation de $\Nn^2$ a été effectuée de la façon suivante :

\[\]

Sur une parallèle à la droite d’équation $y = -x$ , la somme $x+y$ est constante. Il en est de même de l’expression $\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$ et quand on descend de $1$ en $y$ , on avance de $1$ dans la numérotation.

Lemme. $\forall n\in\Nn,\;\exists!p\in\Nn/\;\frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}$ .

Démonstration. Pour démontrer ce lemme, on pourrait se contenter de constater que la suite des nombres triangulaires $\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)_{p\geq0}$ est strictement croissante. Néanmoins, on va fournir explicitement $p$ en fonction de $n$ . Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. $\begin{align*} \frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}&\Leftrightarrow p^2+p-2n\leq0\;\mbox{et}\;p^2+3p+2-2n>0\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\;\mbox{et}\;p>\frac{-3+\sqrt{8n+1}}{2}=-1+\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}<p+1\Leftrightarrow p= E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right). \end{align*}$ Le lemme est démontré.

Montrons que $f$ est surjective (et au passage, déterminons l’antécédent d’un entier $n$ donné). Soient $n$ un entier naturel et $p=E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)$ ( $p$ est un entier naturel). On pose $\left\{ \begin{array}{l} x+y=p\\ y=n-\frac{p(p+1)}{2} \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} y=n-\frac{p(p+1)}{2}\\ x=p-y=\frac{p(p+3)}{2}-n \end{array} \right.$ . Tout d’abord, $y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=n-\frac{p(p+1)}{2}+\frac{p(p+1)}{2}=n$ . Mais il reste encore à vérifier que $x$ et $y$ ainsi définis (qui sont à l’évidence des entiers relatifs) sont bien des entiers naturels. Puisque $\frac{p(p+1)}{2}$ est un entier naturel et que $n\geq\frac{p(p+1)}{2}$ , $y$ est bien un entier naturel. Ensuite, $\frac{p(p+3)}{2}=\frac{p(p+1)}{2}+p$ est aussi un entier naturel et de plus,

$\frac{p(p+3)}{2}-n\geq\frac{p(p+3)}{2}-\left(\frac{(p+1)(p+2)}{2}-1\right)=0,$ et $x$ est bien un entier naturel. Ainsi, pour $n$ naturel donné, en posant $p= E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)$ puis $x=\frac{p(p+3)}{2}-n$ et $y=n-\frac{p(p+1)}{2}$ , $x$ et $y$ sont des entiers naturels tels que $f((x,y))=n$ . $f$ est donc surjective. Montrons que $f$ est injective. Pour cela, on montre que si $x$ et $y$ sont des entiers naturels vérifiant $y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=n$ , alors nécessairement, $x+y=p$ (et $y=n-\frac{p(p+1)}{2})$ . Soient donc $x$ et $y$ deux entiers naturels. On a :

$\begin{align*} \frac{(x+y)(x+y+1)}{2} &\leq \frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y \\ &= n \\ &< \frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+(x+y+1) \\ &= \frac{(x+y+1)(x+y+2)}{2}, \end{align*}$ et le lemme montre que $x+y=p$ . L’unicité du couple $(x,y)$ est donc démontrée. $f$ est une application injective et surjective et donc $f$ est bijective. Sa réciproque est $\begin{array}{cccc} f^{-1}~:&\Nn&\rightarrow&\Nn^2\\ &n&\mapsto&(\frac{p(p+3)}{2}-n,n-\frac{p(p+1)}{2}) \end{array}$ où $p=E\left(\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\right)$ .

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