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Soit $E$ un ensemble non vide. On se donne deux parties $A$ et $B$ de $E$ et on définit l’application $f:\wp (E)\rightarrow \wp (E),$ $X\mapsto (A\cap X)\cup (B\cap X^{c}).$ Discuter et résoudre l’équation $f(X)=\emptyset$. En déduire une condition nécessaire pour que $f$ soit bijective.

On suppose maintenant $B=A^{c}$. Exprimer $f$ à l’aide de la différence symétrique $\Delta$. Montrer que $f$ est bijective, préciser $f^{-1}$. $f$ est-elle involutive (i.e. $f^{2}=id$) ? Quelle propriété en déduit-on ?