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Soit \(E\) un ensemble non vide. On se donne deux parties \(A\) et \(B\) de \(E\) et on définit l’application \(f:\wp (E)\rightarrow \wp (E),\) \(X\mapsto (A\cap X)\cup (B\cap X^{c}).\) Discuter et résoudre l’équation \(f(X)=\emptyset\). En déduire une condition nécessaire pour que \(f\) soit bijective.
On suppose maintenant \(B=A^{c}\). Exprimer \(f\) à l’aide de la différence symétrique \(\Delta\). Montrer que \(f\) est bijective, préciser \(f^{-1}\). \(f\) est-elle involutive (i.e. \(f^{2}=id\)) ? Quelle propriété en déduit-on ?