$f$ est définie sur $\Rr$ , impaire. Pour $x\in[0,+\infty[$ , $0\leq f(x)=\frac{x}{1+x}<\frac{1+x}{1+x}=1$ . Donc, $f([0,+\infty[)\subset[0,1[$ . Par parité, $f(]-\infty,0])\subset]-1,0]$ et même $f(]-\infty,0[)\subset]-1,0[$ car l’image par $f$ d’un réel strictement négatif est un réel strictement négatif. Finalement, $f(\Rr)\subset]-1,1[$ . Vérifions alors que $f$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]-1,1[$ . Soit $y\in[0,1[$ et $x\in\Rr$ . L’égalité $f(x)=y$ impose à $f(x)=\sqrt{2x+3}-1$ d’être dans $[0,+\infty[$ . Mais alors

$f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}.$ Le réel $x$ obtenu est bien défini, car $y\neq1$ , et positif, car $y\in[0,1[$ . On a montré que :

$\forall y\in[0,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1-y}).$ Soit $y\in]-1,0[$ et $x\in\Rr$ . L’égalité $f(x)=y$ impose à $x$ d’être dans $]-\infty,0[$ . Mais alors

$f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1-x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1+y}.$ Le réel $x$ obtenu est bien défini, car $y\neq-1$ , et strictement négatif, car $y\in]-1,0[$ . On a montré que :

$\forall y\in]-1,0[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1+y}).$ Finalement,

$\forall y\in]-1,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x),$ ce qui montre que $f$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]-1,1[$ . De plus, pour $y\in]-1,1[$ donné, $f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}$ si $y\geq0$ et $f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}$ si $y<0$ . Dans tous les cas, on a $f^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}$ .

En notant encore $f$ l’application de $\Rr$ dans $]-1,1[$ qui à $x$ associe $\frac{x}{1+|x|}$ , on a donc

$\forall x\in]-1,1[,\;f^{-1}(x)=\frac{x}{1-|x|}.$

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