\(f\) est définie sur \(\Rr\), impaire. Pour \(x\in[0,+\infty[\), \(0\leq f(x)=\frac{x}{1+x}<\frac{1+x}{1+x}=1\). Donc, \(f([0,+\infty[)\subset[0,1[\). Par parité, \(f(]-\infty,0])\subset]-1,0]\) et même \(f(]-\infty,0[)\subset]-1,0[\) car l’image par \(f\) d’un réel strictement négatif est un réel strictement négatif. Finalement, \(f(\Rr)\subset]-1,1[\). Vérifions alors que \(f\) réalise une bijection de \(\Rr\) sur \(]-1,1[\). Soit \(y\in[0,1[\) et \(x\in\Rr\). L’égalité \(f(x)=y\) impose à \(x\) d’être dans \([0,+\infty[\). Mais alors

\[f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}.\] Le réel \(x\) obtenu est bien défini, car \(y\neq1\), et positif, car \(y\in[0,1[\). On a montré que :

\[\forall y\in[0,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1-y}).\] Soit \(y\in]-1,0[\) et \(x\in\Rr\). L’égalité \(f(x)=y\) impose à \(x\) d’être dans \(]-\infty,0[\). Mais alors

\[f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1-x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1+y}.\] Le réel \(x\) obtenu est bien défini, car \(y\neq-1\), et strictement négatif, car \(y\in]-1,0[\). On a montré que :

\[\forall y\in]-1,0[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1+y}).\] Finalement,

\[\forall y\in]-1,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x),\] ce qui montre que \(f\) réalise une bijection de \(\Rr\) sur \(]-1,1[\). De plus, pour \(y\in]-1,1[\) donné, \(f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}\) si \(y\geq0\) et \(f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}\) si \(y<0\). Dans tous les cas, on a \(f^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}\).

En notant encore \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(]-1,1[\) qui à \(x\) associe \(\frac{x}{1+|x|}\), on a donc

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