Considérons la restriction suivante de \(f\) : \(f_|:[0,2\pi[ \longrightarrow \mathbb{U}\), \(t\mapsto e^{it}\). Montrons que cette nouvelle application \(f_|\) est bijective. Ici \(\mathbb{U}\) est le cercle unité de \(\Cc\) donné par l’équation \((|z|=1)\).

\(f_|\) est surjective car tout nombre complexe de \(\mathbb{U}\) s’écrit sous la forme polaire \(e^{i\theta}\), et l’on peut choisir \(\theta \in [0,2\pi[\).
\(f_|\) est injective : \[\begin{align*} f_|(t) = f_|(t') &\Leftrightarrow e^{it}=e^{it'}\\ &\Leftrightarrow t=t' +2k\pi \text{ avec } k\in \Zz\\ &\Leftrightarrow t=t' \text{ car } t,t'\in[0,2\pi[ \text{ et donc }k=0.\\ \end{align*}\]

En conclusion \(f_|\) est injective et surjective donc bijective.

exo7 200