Montrons que \(h\) est injective. Soient \((x,y), (x',y') \in \Rr^2\) tels que \(h(x,y)=h(x',y')\). Alors \((x + y, x-y)=(x' + y', x'-y')\) donc \[\begin{cases} x+y &= x'+y'\\ x-y &= x'-y'\\ \end{cases}\] En faisant la somme des lignes de ce système on trouve \(2x=2x'\) donc \(x=x'\) et avec la différence on obtient \(y=y'\). Donc les couples \((x,y)\) et \((x',y')\) sont égaux. Donc \(h\) est injective.

Montrons que \(h\) est surjective. Soit \((X,Y) \in \Rr^2\), cherchons lui un antécédent \((x,y)\) par \(h\). Un tel antécédent vérifie \(h(x,y)=(X,Y)\), donc \((x+y,x-y)=(X,Y)\) ou encore : \[\begin{cases} x+y &= X\\ x-y &= Y\\ \end{cases}\] Encore une fois on faisant la somme des lignes on obtient \(x=\frac{X+Y}{2}\) et avec la différence \(y = \frac{X-Y}{2}\), donc \((x,y) = (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})\). La partie “analyse” de notre raisonnement en finie passons à la “synthèse” : il suffit de juste de vérifier que le couple \((x,y)\) que l’on a obtenu est bien solution (on a tout fait pour !). Bilan pour \((X,Y)\) donné, son antécédent par \(h\) existe et est \((\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})\). Donc \(h\) est surjective.

En fait on pourrait montrer directement que \(h\) est bijective en exhibant sa bijection réciproque \((X,Y) \mapsto (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})\). Mais vous devriez vous convaincre qu’il s’agit là d’une différence de rédaction, mais pas vraiment d’un raisonnement différent.

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