Montrons que $h$ est injective. Soient $(x,y), (x',y') \in \Rr^2$ tels que $h(x,y)=h(x',y')$ . Alors $(x + y, x-y)=(x' + y', x'-y')$ donc $\begin{cases} x+y &= x'+y'\\ x-y &= x'-y'\\ \end{cases}$ En faisant la somme des lignes de ce système on trouve $2x=2x'$ donc $x=x'$ et avec la différence on obtient $y=y'$ . Donc les couples $(x,y)$ et $(x',y')$ sont égaux. Donc $h$ est injective.

Montrons que $h$ est surjective. Soit $(X,Y) \in \Rr^2$ , cherchons lui un antécédent $(x,y)$ par $h$ . Un tel antécédent vérifie $h(x,y)=(X,Y)$ , donc $(x+y,x-y)=(X,Y)$ ou encore : $\begin{cases} x+y &= X\\ x-y &= Y\\ \end{cases}$ Encore une fois on faisant la somme des lignes on obtient $x=\frac{X+Y}{2}$ et avec la différence $y = \frac{X-Y}{2}$ , donc $(x,y) = (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$ . La partie “analyse” de notre raisonnement en finie passons à la “synthèse” : il suffit de juste de vérifier que le couple $(x,y)$ que l’on a obtenu est bien solution (on a tout fait pour !). Bilan pour $(X,Y)$ donné, son antécédent par $h$ existe et est $(\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$ . Donc $h$ est surjective.

En fait on pourrait montrer directement que $h$ est bijective en exhibant sa bijection réciproque $(X,Y) \mapsto (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$ . Mais vous devriez vous convaincre qu’il s’agit là d’une différence de rédaction, mais pas vraiment d’un raisonnement différent.

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