On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et \(g(x) = \int_{t=0}^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,d t\).
1
Montrer que \(f\) et \(g\) sont dérivables et calculer \(f'\) et \(g'\).
2
Montrer que \(f(x) + g(x) = \frac\pi4\) pour tout \(x \in \R^+\).
3
En déduire la valeur de \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t\).