L2 Analyse Intégration Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa BCPST 3 questions

exo7 4344

On considère les fonctions définies par : $f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2$ et $g(x) = \int_{t=0}^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,d t$ .

Montrer que $f$ et $g$ sont dérivables et calculer $f'$ et $g'$ .

Montrer que $f(x) + g(x) = \frac\pi4$ pour tout $x \in \R^+$ .

En déduire la valeur de $\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t$ .