Soit \(f\) la fonction de \({\Rr}^2\) dans \({\Rr}\) définie par \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) et \(C\) l’ensemble des \((x,y)\in\Rr^2\) tels que \(f(x,y)=0\).
En quels points \((a,b)\) peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites ? Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu’elle existe et écrire l’équation de la tangente à \(C\).
Montrer que l’équation \(e^x+e^y+x+y-2=0\) définit au voisinage de \(0\) une fonction implicite \(\varphi\) de \(x\) dont on calculera le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\).
Montrer que les équations \(x+y-zt=0,\ xy-z+t=0\) définissent au voisinage de \((0,1)\) deux fonctions implicites \(x=\varphi_1(z,t),\ y=\varphi_2(z,t)\) avec \(\varphi_1(0,1)=1\), dont on calculera les différentielles en ce point.