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Soit $f$ la fonction de ${\Rr}^2$ dans ${\Rr}$ définie par $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ et $C$ l’ensemble des $(x,y)\in\Rr^2$ tels que $f(x,y)=0$.

En quels points $(a,b)$ peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites ? Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu’elle existe et écrire l’équation de la tangente à $C$.

Montrer que l’équation $e^x+e^y+x+y-2=0$ définit au voisinage de $0$ une fonction implicite $\varphi$ de $x$ dont on calculera le développement limité à l’ordre $3$ en $0$.

Montrer que les équations $x+y-zt=0,\ xy-z+t=0$ définissent au voisinage de $(0,1)$ deux fonctions implicites $x=\varphi_1(z,t),\ y=\varphi_2(z,t)$ avec $\varphi_1(0,1)=1$, dont on calculera les différentielles en ce point.