Soit \(O\) un ouvert de \(\Rr^3\), \(f:O\to \Rr\) une application de classe \(C^1\) et \((a,b,c)\in O\) tel que \(f(a,b,c)=0\).
Donner une condition suffisante pour qu’on puisse résoudre : et \(x\) en fonction de \((y,z)\) et \(y\) en fonction de \((x,z)\) et \(z\) en fonction de \((x,y)\). Plus précisément, donner une condition suffisante pour qu’il existe \(U\) voisinage de \(a\), \(V\) voisinage de \(b\), \(W\) voisinage de \(c\) avec \(U\times V\times W\subset O\), et \(\varphi:V\times W\to U\), \(\chi:U\times W\to V\), \(\psi:U\times V\to W\) des fonctions de classe \(C^1\) tels que pour \((x,y,z)\in U\times V\times W\) :
\[f(x,y,z)=0\Longleftrightarrow x=\varphi(y,z)\Longleftrightarrow y=\chi(x,z)\Longleftrightarrow z=\psi(x,y).\]
Si la condition donnée en 1. est satisfaite, démontrer que pour \((x,y,z)\in U\times V\times W\) tel que \(f(x,y,z)=0\) on a
\[\partial_1\varphi(y,z) \partial_2\chi(x,z)\partial_1\psi(x,y)=-1.\]