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Donner une condition suffisante pour qu’on puisse résoudre : et $x$ en fonction de $(y,z)$ et $y$ en fonction de $(x,z)$ et $z$ en fonction de $(x,y)$. Plus précisément, donner une condition suffisante pour qu’il existe $U$ voisinage de $a$, $V$ voisinage de $b$, $W$ voisinage de $c$ avec $U\times V\times W\subset O$, et $\varphi:V\times W\to U$, $\chi:U\times W\to V$, $\psi:U\times V\to W$ des fonctions de classe $C^1$ tels que pour $(x,y,z)\in U\times V\times W$ :

$$f(x,y,z)=0\Longleftrightarrow x=\varphi(y,z)\Longleftrightarrow y=\chi(x,z)\Longleftrightarrow z=\psi(x,y).$$

Si la condition donnée en 1. est satisfaite, démontrer que pour $(x,y,z)\in U\times V\times W$ tel que $f(x,y,z)=0$ on a

$$\partial_1\varphi(y,z) \partial_2\chi(x,z)\partial_1\psi(x,y)=-1.$$