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Donner la définition d’une sous-variété $M$ de $\Rr^n$ de dimension $k$.

Enoncer le théorème des fonctions implicites.

Soit $f : \Rr^n \to \Rr^p$ une fonction de classe $C^1$ et soit $M = \{\,x\in \Rr^n \mid f(x) = \mathbf{0}\,\}$. Supposons en plus que $f$ vérifie la condition : $\forall x\in M : \operatorname{rang}(J(x)) = p\ ,$ où $J(x) = \Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\Bigr){}_{j=1,\dots, n}^{i=1,\dots, p}$ est la matrice Jacobienne de $f$ en $x$ de taille $n\times p$.

Montrer, en utilisant le théorème des fonctions implicites, que $M$ est une sous-variété de $\Rr^n$ de dimension $k = n-p$.