[gijsexo2]
1
Donner la définition d’une sous-variété \(M\) de \(\Rr^n\) de dimension \(k\).
2
Enoncer le théorème des fonctions implicites.
Soit \(f : \Rr^n \to \Rr^p\) une fonction de classe \(C^1\) et soit \(M = \{\,x\in \Rr^n \mid f(x) = \mathbf{0}\,\}\). Supposons en plus que \(f\) vérifie la condition : \(\forall x\in M : \operatorname{rang}(J(x)) = p\ ,\) où \(J(x) = \Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\Bigr){}_{j=1,\dots, n}^{i=1,\dots, p}\) est la matrice Jacobienne de \(f\) en \(x\) de taille \(n\times p\).
3
Montrer, en utilisant le théorème des fonctions implicites, que \(M\) est une sous-variété de \(\Rr^n\) de dimension \(k = n-p\).