Soit \(f:{\Rr}^n\to {\Rr}^n\) une application de classe \(C^1\) telle que \[||f(x)-f(y)||\geq k||x-y||\] pour tous \(x,h\in {\Rr}^n\), \(k\) étant une constante \(>0\). On va montrer que \(f\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \({\Rr}^n\) sur lui-même.
1
Montrer que \(f\) est injective et que \(f({\Rr}^n)\) est fermée dans \({\Rr}^n\).
2
Montrer que \(f'(x)\) est inversible pour tout \(x\in{\Rr}^n\).
3
En déduire que \(f({\Rr}^n)\) est un ouvert-fermé de \({\Rr}^n\).