Soit \(E=\Rr^n\) muni d’une norme quelconque, et \(B_r\) la boule fermée \(||x||\leq r\). Soit \(f\) un \(C^1\)-difféomorphisme entre deux ouverts \(U\) et \(V\) de \(E\), contenant \(0\), tel que \(f(0)=0\). On pose \(A=f'(0)\in{\cal L}(E)\). Soit \(0<\varepsilon<1\).
1
Montrer qu’il existe \(R>0\) tel que pour tout \(x\in B_R\), \[||A^{-1}(f(x))-x||\leq \varepsilon\ ||x||.\]
2
Montrer qu’il existe \(R'>0\) tel que pour \(0\leq r\leq R'\), \[(1-\varepsilon)\ A(B_r)\subset f(B_r)\subset (1+\varepsilon)\ A(B_r).\]
3
En déduire que \(\lim_{r\to 0}\frac{\hbox{vol}\ f (B_r)}{ \hbox{vol}\ (B_r)}= |\det A|\).