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Soit $E=\Rr^n$ muni d’une norme quelconque, et $B_r$ la boule fermée $||x||\leq r$ . Soit $f$ un $C^1$ -difféomorphisme entre deux ouverts $U$ et $V$ de $E$ , contenant $0$ , tel que $f(0)=0$ . On pose $A=f'(0)\in{\cal L}(E)$ . Soit $0<\varepsilon<1$ .

Montrer qu’il existe $R>0$ tel que pour tout $x\in B_R$ , $||A^{-1}(f(x))-x||\leq \varepsilon\ ||x||.$

Montrer qu’il existe $R'>0$ tel que pour $0\leq r\leq R'$ , $(1-\varepsilon)\ A(B_r)\subset f(B_r)\subset (1+\varepsilon)\ A(B_r).$

En déduire que $\lim_{r\to 0}\frac{\hbox{vol}\ f (B_r)}{ \hbox{vol}\ (B_r)}= |\det A|$ .

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