Soit \(\varphi\) l’application de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) définie pas \[\varphi(x,y)=(\sin(y/2)-x,\sin(x/2)-y).\]
1
Justifier que \(\varphi\) est de classe \(C^1\), calculer sa différentielle et voir que \(D\varphi(x,y)\) est inversible pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).
2
Montrer que \(\varphi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\varphi(\mathbb{R}^2)\) et justifier que \(\varphi(\mathbb{R}^2)\) est un ouvert.
3
Montrer que \(\varphi^{-1}\) est lipschitzienne (on prendra comme norme sur \(\mathbb{R}^2\): \(\|(x,y)\|=|x|+|y|\)).
4
En déduire que \(\varphi\) est un difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\)
5
Calculer \(D\varphi^{-1}(p)\) où \(p=(1-\pi/2, \sqrt{2}/2-\pi)\).