exo7 2529

Justifier que $\varphi$ est de classe $C^1$, calculer sa différentielle et voir que $D\varphi(x,y)$ est inversible pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

Montrer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\varphi(\mathbb{R}^2)$ et justifier que $\varphi(\mathbb{R}^2)$ est un ouvert.

Montrer que $\varphi^{-1}$ est lipschitzienne (on prendra comme norme sur $\mathbb{R}^2$: $\|(x,y)\|=|x|+|y|$).

En déduire que $\varphi$ est un difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\mathbb{R}^2$

Calculer $D\varphi^{-1}(p)$ où $p=(1-\pi/2, \sqrt{2}/2-\pi)$.