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Démontrer le résultat suivant (théorème d’inversion globale) :

Soit $E$, $F$ deux Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f:U\to F$ une application de classe $C^1$ sur $U$. Alors $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$ si et seulement si :

(i) $f$ est injective;

(ii) $f'(x)\in$ Isom($E,F$) pour tout $x\in U$.