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Démontrer que $\forall A,B \in F : \|AB\|_{op} \le \|A\|_{op} \cdot \|B\|_{op}$.

Démontrer que pour $A\in F$, la série $\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} A^n$ est une série normalement convergente sur tout compact de $F$. (Nota Bene : $A^0 = Id \in F$ désigne la matrice identité.) On note $\exp : F \to F$ l’application $A \mapsto \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} A^n$.

Calculer $D_{\mathbf{0}} \exp$, où $\mathbf{0}$ est l’application nulle de $E$ dans $E$. Quelle est la taille de la matrice $D_{\mathbf{0}} \exp$ ? Déduire qu’il existe un voisinage $U$ de $\mathbf{0} \in F$ et un voisinage $V$ de $Id = \exp(\mathbf{0})$ tels que $\exp$ est un ($C^1$-)difféomorphisme de $U$ sur $V$. Justifier votre réponse !