Soit \(E=\Rr^n\) muni de la norme euclidienne et \(F = M(n,\Rr)\) l’ensemble des matrices \(n\times n\) à coefficients réels ; on identifie \(F\) avec l’ensemble d’applications linéaires de \(E\) dans \(E\). Soit \(\|\cdot\|_{op}\) la norme d’opérateurs sur \(F\).
Démontrer que \(\forall A,B \in F : \|AB\|_{op} \le \|A\|_{op} \cdot \|B\|_{op}\).
Démontrer que pour \(A\in F\), la série \(\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} A^n\) est une série normalement convergente sur tout compact de \(F\). (Nota Bene : \(A^0 = Id \in F\) désigne la matrice identité.) On note \(\exp : F \to F\) l’application \(A \mapsto \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} A^n\).
Calculer \(D_{\mathbf{0}} \exp\), où \(\mathbf{0}\) est l’application nulle de \(E\) dans \(E\). Quelle est la taille de la matrice \(D_{\mathbf{0}} \exp\) ? Déduire qu’il existe un voisinage \(U\) de \(\mathbf{0} \in F\) et un voisinage \(V\) de \(Id = \exp(\mathbf{0})\) tels que \(\exp\) est un (\(C^1\)-)difféomorphisme de \(U\) sur \(V\). Justifier votre réponse !