On considère le système d’équations d’inconnues \(x\) et \(y\) : \[x={1\over2}\sin(x+y)+t-1,\quad y={1\over2}\cos(x-y)-t+{1\over2}.\]
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Montrer que pour chaque \(t_0\in\Rr\), il existe une unique solution \((x_0,y_0)\), et que la fonction ainsi définie est continue..
2
Montrer en considérant la fonction \(F(x,y,t)=(x-{1\over2}\sin(x+y)+t-1,\quad y-{1\over2}\cos(x-y)-t+{1\over2})\), que le système admet une unique solution \(x=x(t),\ y=y(t)\) constituée de fonctions \(C^\infty\).
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Donner un développement limité à l’ordre \(2\) de \(x(t),y(t)\) au point \((0,0)\).