Dans cet exercice, \(\mathcal{O}\) désigne un ouvert de \(\Rr^n\).
Quand dit-on qu’une fonction \(f:\mathcal{O} \to \Rr\) est de classe \(C^k\) (\(k\ge1\)) ?
Démontrer par récurrence sur \(k\) que si \(f : \mathcal{O} \to \Rr\) et \(g: \mathcal{O} \to \Rr\setminus\{0\}\) sont de classe \(C^k\), alors \(h:\mathcal{O} \to \Rr\), \(h(x) = f(x)/g(x)\) est aussi de classe \(C^k\).
Démontrer par récurrence sur \(k\) que la composée de deux fonctions de classe \(C^k\) est aussi de classe \(C^k\).
Soit \(Gl(2,\Rr)\) l’ensemble des matrices à coefficients réels \(2\times2\) inversibles. Démontrer que l’application \(I: Gl(2,\Rr) \to Gl(2,\Rr)\), \(I(\left(\smallmatrix a&b \\ c&d \endsmallmatrix\right)) = \left(\smallmatrix a&b \\ c&d \endsmallmatrix\right)^{-1}\) est de classe \(C^k\) pour tout \(k\ge1\).
Énoncer le théorème de l’inversion locale pour une fonction \(f:\mathcal{O} \to \Rr^n\).
On se restreint au cas \(n=2\) et on se place dans les conditions du théorème de l’inversion locale. Démontrer que si \(f\) est de classe \(C^k\), \(k>1\), alors la réciproque \(f^{-1}\) (donnée par le théorème de l’inversion locale) est de classe \(C^k\).