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Quand dit-on qu’une fonction $f:\mathcal{O} \to \Rr$ est de classe $C^k$ ($k\ge1$) ?

Démontrer par récurrence sur $k$ que si $f : \mathcal{O} \to \Rr$ et $g: \mathcal{O} \to \Rr\setminus\{0\}$ sont de classe $C^k$, alors $h:\mathcal{O} \to \Rr$, $h(x) = f(x)/g(x)$ est aussi de classe $C^k$.

Démontrer par récurrence sur $k$ que la composée de deux fonctions de classe $C^k$ est aussi de classe $C^k$.

Soit $Gl(2,\Rr)$ l’ensemble des matrices à coefficients réels $2\times2$ inversibles. Démontrer que l’application $I: Gl(2,\Rr) \to Gl(2,\Rr)$, $I(\left(\begin{smallmatrix} a&b \\ c&d \end{smallmatrix}\right)) = \left(\begin{smallmatrix} a&b \\ c&d \end{smallmatrix}\right)^{-1}$ est de classe $C^k$ pour tout $k\ge1$.

Énoncer le théorème de l’inversion locale pour une fonction $f:\mathcal{O} \to \Rr^n$.

On se restreint au cas $n=2$ et on se place dans les conditions du théorème de l’inversion locale. Démontrer que si $f$ est de classe $C^k$, $k>1$, alors la réciproque $f^{-1}$ (donnée par le théorème de l’inversion locale) est de classe $C^k$.