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On suppose que la différentielle de $\varphi$ est de rang $2$ en tout point de $U$. Montrer que pour tout $(u,v)$ le système $(*)$ admet une solution, unique localement. Que peut-on dire si la différentielle est de rang $2$ en un point de $U$ seulement ?

A-t-on des solutions si la différentielle est de rang $0$ ?

On suppose maintenant que la différentielle de $\varphi$ est de rang $1$ en tout point de $U$. Si $f'_x$ ne s’annule pas sur $U$, montrer que $\psi:(x,y)\to (f(x,y),y)$ définit un difféomorphisme d’un ouvert $V\subset U$ sur $\psi(V)$. En déduire $G$ telle que $g(x,y)=G(f(x,y))$ sur $V$. Que peut-on dire des solutions du système $(*)$ ?