Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^2\) et \(\varphi : U\to \Rr^2\) une application de classe \(C^1\) \(\varphi=(f, g)\). On considère \(u,v\) réels et on cherche \(x,y\) tels que \[(*)\quad f(x,y)=u,\ g(x,y)=v.\]
On suppose que la différentielle de \(\varphi\) est de rang \(2\) en tout point de \(U\). Montrer que pour tout \((u,v)\) le système \((*)\) admet une solution, unique localement. Que peut-on dire si la différentielle est de rang \(2\) en un point de \(U\) seulement ?
A-t-on des solutions si la différentielle est de rang \(0\) ?
On suppose maintenant que la différentielle de \(\varphi\) est de rang \(1\) en tout point de \(U\). Si \(f'_x\) ne s’annule pas sur \(U\), montrer que \(\psi:(x,y)\to (f(x,y),y)\) définit un difféomorphisme d’un ouvert \(V\subset U\) sur \(\psi(V)\). En déduire \(G\) telle que \(g(x,y)=G(f(x,y))\) sur \(V\). Que peut-on dire des solutions du système \((*)\) ?