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Remarquer que $F$ est injective et $F'(x,y)\in$ Isom(${\Rr}^2,{\Rr}^2$) pour tout $(x,y)$.

Reste à établir la surjection.

1ère méthode : Montrer que $F$ est propre ($\lim ||F(x,y)||=+\infty$ quand $||(x,y)||\to+\infty$) et que si $(a,b)\in{\Rr}^2$, la fonction $g(x,y)=||F(x,y)-(a,b)||^2$ est différentiable et atteint sa borne inférieure en un point annulant $g'(x,y)$; conclure.

2ème méthode : Montrer que $F({\Rr}^2)$ est à la fois ouverte et fermée. Conclure.

3ème méthode : Si $(a,b)\in{\Rr}^2$, appliquer le théorème du point fixe à l’application $\phi(x,y)=(a-f(y),b-f(x))$; conclure.