On va proposer trois démonstrations possibles de l’exercice classique suivant : soit \(f\) une application de classe \(C^1\) de \({\Rr}\) dans lui-même, telle que \(|f'(x)|\leq k\) pour tout \(x\) réel, où \(k\in ]0,1[\). Alors \(F\) définie par \(F(x,y)=(x+f(y),y+f(x))\) est un difféomorphisme de classe \(C^1\) de \({\Rr}^2\) sur lui-même.
Remarquer que \(F\) est injective et \(F'(x,y)\in\) Isom(\({\Rr}^2,{\Rr}^2\)) pour tout \((x,y)\).
Reste à établir la surjection.
1ère méthode : Montrer que \(F\) est propre (\(\lim ||F(x,y)||=+\infty\) quand \(||(x,y)||\to+\infty\)) et que si \((a,b)\in{\Rr}^2\), la fonction \(g(x,y)=||F(x,y)-(a,b)||^2\) est différentiable et atteint sa borne inférieure en un point annulant \(g'(x,y)\); conclure.
2ème méthode : Montrer que \(F({\Rr}^2)\) est à la fois ouverte et fermée. Conclure.
3ème méthode : Si \((a,b)\in{\Rr}^2\), appliquer le théorème du point fixe à l’application \(\phi(x,y)=(a-f(y),b-f(x))\); conclure.