Soit \(f:O \subset \Rr^3 \to \Rr\) une fonction de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(O\) et \((x_o,y_o,z_o) \in O\) tel que \(f(x_o,y_o,z_o) = 0\).
Donner une condition suffisante pour qu’on puisse résoudre : et \(x\) en fonction de \((y,z)\), et \(y\) en fonction de \((x,z)\), et \(z\) en fonction de \((x,y)\). Plus précisément, donner une condition suffisante pour qu’il existe \(U\) un voisinage de \(x_o\), \(V\) un voisinage de \(y_o\), \(W\) un voisinage de \(z_o\), \(U \times V \times W \subset O\), et \(\phi: V \times W \to U\), \(\chi : U \times W \to V\) et \(\psi : U \times V \to W\) des fonctions de classe \(C^1\) telles que \(\forall (x,y,z) \in U \times V \times W\) : \[f(x,y,z) = 0 \Longleftrightarrow x=\phi(y,z) \Longleftrightarrow y = \chi(x,z) \Longleftrightarrow z = \psi(x,y) \ .\] Justifier votre réponse.
Si la condition donnée en 1. est satisfaite, démontrer que \(\forall (x,y,z) \in U \times V \times W\) tels que \(f(x,y,z) = 0\) on a \[(\partial_1\phi)(y,z) \cdot (\partial_2\chi)(x,z) \cdot (\partial_1\psi)(x,y) = -1 \ .\] (Remarque, cette relation est beaucoup utilisée en thermodynamique, où elle est écrite comme \((\frac xy)_z \cdot (\frac yz)_x \cdot (\frac zx)_y = -1\), avec l’interprétation que \((\frac xy)_z\) est la dérivée de \(x\) par rapport à \(y\) en gardant \(z\) constant.)