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Donner une condition suffisante pour qu’on puisse résoudre : et $x$ en fonction de $(y,z)$, et $y$ en fonction de $(x,z)$, et $z$ en fonction de $(x,y)$. Plus précisément, donner une condition suffisante pour qu’il existe $U$ un voisinage de $x_o$, $V$ un voisinage de $y_o$, $W$ un voisinage de $z_o$, $U \times V \times W \subset O$, et $\phi: V \times W \to U$, $\chi : U \times W \to V$ et $\psi : U \times V \to W$ des fonctions de classe $C^1$ telles que $\forall (x,y,z) \in U \times V \times W$ : $$f(x,y,z) = 0 \Longleftrightarrow x=\phi(y,z) \Longleftrightarrow y = \chi(x,z) \Longleftrightarrow z = \psi(x,y) \ .$$ Justifier votre réponse.

Si la condition donnée en 1. est satisfaite, démontrer que $\forall (x,y,z) \in U \times V \times W$ tels que $f(x,y,z) = 0$ on a $$(\partial_1\phi)(y,z) \cdot (\partial_2\chi)(x,z) \cdot (\partial_1\psi)(x,y) = -1 \ .$$ (Remarque, cette relation est beaucoup utilisée en thermodynamique, où elle est écrite comme $(\frac xy)_z \cdot (\frac yz)_x \cdot (\frac zx)_y = -1$, avec l’interprétation que $(\frac xy)_z$ est la dérivée de $x$ par rapport à $y$ en gardant $z$ constant.)