1
On considère l’application \(\varphi\) de \(\Rr^3\) dans lui-même définie par \((x,y,z)\to (e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y)\). Montrer que \(\varphi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\Rr^3\) sur son image que l’on précisera.
2
Soit \(\lambda\in \Rr\) et \(F\) l’application de \(\Rr^3\) dans lui-même définie par \((x,y,z)\to (e^{x-y+2z}+e^{-x+y+2z}, e^{2x}+e^{2y}-2\lambda e^{x-y}, e^{2x}+e^{2y}-2e^{-x+y})\). Montrer que \(F\) s’écrit \(G\circ \varphi\), \(G\) à préciser, et que c’est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\Rr^3\) sur son image si et seulement si \(\lambda\geq0\).