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On considère l’application $\varphi$ de $\Rr^3$ dans lui-même définie par $(x,y,z)\to (e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y)$. Montrer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\Rr^3$ sur son image que l’on précisera.

Soit $\lambda\in \Rr$ et $F$ l’application de $\Rr^3$ dans lui-même définie par $(x,y,z)\to (e^{x-y+2z}+e^{-x+y+2z}, e^{2x}+e^{2y}-2\lambda e^{x-y}, e^{2x}+e^{2y}-2e^{-x+y})$. Montrer que $F$ s’écrit $G\circ \varphi$, $G$ à préciser, et que c’est un $C^1$-difféomorphisme de $\Rr^3$ sur son image si et seulement si $\lambda\geq0$.