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Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3 \setminus \{0\}\). Soit \((x,y,z) \to (X,Y,Z)\) l’application inversion de pôle \(0\), de puisssance 1, définie dans \(U\), à valeurs dans \(\Rr^3\), par les formules \[X = {\frac x{x^2 + y^2 + z^2}}\quad ; \quad Y = {\frac y {x^2 + y^2 + z^2}} \quad ; \quad Z = {\frac z {x^2 + y^2 + z^2}}\] Calculer la matrice jacobienne de cette transformation (on posera \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)) et vérifier que cette matrice est égale à son inverse.