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Soit $U$ l’ouvert $\Rr^3 \setminus \{0\}$. Soit $(x,y,z) \to (X,Y,Z)$ l’application inversion de pôle $0$, de puisssance 1, définie dans $U$, à valeurs dans $\Rr^3$, par les formules $$X = {\frac x{x^2 + y^2 + z^2}}\quad ; \quad Y = {\frac y {x^2 + y^2 + z^2}} \quad ; \quad Z = {\frac z {x^2 + y^2 + z^2}}$$ Calculer la matrice jacobienne de cette transformation (on posera $\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$) et vérifier que cette matrice est égale à son inverse.