exo7 2527

Soit $f$ une application de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$, dérivable en tout point de ${\Rr}$ et telle que, pour tout $x$ de ${\Rr}$, $f'(x)\neq 0$. Montrer que $f$ est un homéomorphisme de ${\Rr}$ sur $f({\Rr})$ et que $f^{-1}$ est différentiable en tout point de $f({\Rr})$.

Soit $f$ définie par $f(x)=x+x^2\sin{\frac \pi x}$ si $x\not=0$ et $f(0)=0$.

Montrer que $f'(0)$ existe et est $\not=0$, mais que $f$ n’est inversible sur aucun voisinage de $0$. Expliquer.