1
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), dérivable en tout point de \({\Rr}\) et telle que, pour tout \(x\) de \({\Rr}\), \(f'(x)\neq 0\). Montrer que \(f\) est un homéomorphisme de \({\Rr}\) sur \(f({\Rr})\) et que \(f^{-1}\) est différentiable en tout point de \(f({\Rr})\).
2
Soit \(f\) définie par \(f(x)=x+x^2\sin{\frac \pi x}\) si \(x\not=0\) et \(f(0)=0\).
Montrer que \(f'(0)\) existe et est \(\not=0\), mais que \(f\) n’est inversible sur aucun voisinage de \(0\). Expliquer.