Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) normé, de racines \(x_1<x_2<x_3\) : \[P(t,x_1,x_2,x_3)=\Pi_{l=1}^3(t-x_l)=t^3+\sum_{k=1}^3a_k t^{k-1}.\] Les coefficients \(a_k\) sont des fonctions polynômiales, donc de classe \(C^1\), des racines. On pose \(\Omega=\{x_1<x_2<x_3\}\) et on définit \(f:x\in\Omega\to (a_1,a_2,a_3)\in {\Rr}^3\). On va montrer que \(f\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\Omega\) sur \(f(\Omega)\).
Vérifier que \(f\) est injective sur \(\Omega\).
On appelle \(J\) la matrice jacobienne de \(f\), et \(V\) la matrice de coefficients \(\displaystyle v_{ij}=x_i^{j-1}\). En calculant \(\displaystyle{\partial P\over\partial x_k}(t,x_1,x_2,x_3)\) de deux façons, montrer que \(VJ\) est une matrice diagonale inversible si \(x\in\Omega\). Conclure.
En déduire la dérivée de \(f^{-1}\) en tout point de \(f(\Omega)\).