L3 Calcul différentiel Difféomorphisme, théorème d'inversion locale et des fonctions implicites 1 question

exo7 6274

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Soit f:R3→R2f:\Rr^3 \to \Rr^2 définie par f(x,y,z)=(x2−y2+z2−1,xyz−1)f(x,y,z)=(x^2-y^2+z^2-1,xyz-1). Soit (x0,y0,z0)∈R3(x_0,y_0,z_0) \in \Rr^3 tel que f(x0,y0,z0)=(0,0)f(x_0,y_0,z_0)=(0,0). Montrer qu’il existe un intervalle II contenant x0x_0 et une application φ:I→R2\varphi : I \to \Rr^2 tels que φ(x0)=(y0,z0)\varphi (x_0) = (y_0,z_0) et f(x,φ(x))=0f(x,\varphi (x))=0 pour tout x∈Ix\in I.

Exercice 70TU

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