exo7 7357

Construire à la règle et au compas un hexagone régulier $E$.

Une translation de vecteur non nul peut-elle conserver globalement l’hexagone $E$ ?

Quels sont les centres et les angles des rotations du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone $E$ ?

Quelles sont les symétries orthogonales du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone $E$ ?

Quelles sont les symétries orthogonales glissées du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone $E$ ?

Soit $r$ une rotation d’angle minimal non nul qui conserve globalement l’hexagone $E$ et $s$ une symétrie orthogonale qui conserve globalement $E$. Quel est l’ordre de $r$ ? et celui de $s$ ?

Écrire $r$ comme composée de $s$ suivie d’une autre symétrie orthogonale. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques (centre, axe, angle...) de l’isométrie $rs$.

Donner la liste des éléments du groupe $D_{12}$ des isométries du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone $E$. On n’utilisera dans les notations seulement une rotation $r$ et une symétrie $s$.

À l’aide de l’écriture de $r$ comme composée de deux symétries, calculer $sr$.

En déduire les produits $rsrs$, $rsr^2s$, $r^3sr^4s$.