Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
Une translation de vecteur non nul peut-elle conserver globalement l’hexagone \(E\) ?
Quels sont les centres et les angles des rotations du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone \(E\) ?
Quelles sont les symétries orthogonales du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone \(E\) ?
Quelles sont les symétries orthogonales glissées du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone \(E\) ?
Soit \(r\) une rotation d’angle minimal non nul qui conserve globalement l’hexagone \(E\) et \(s\) une symétrie orthogonale qui conserve globalement \(E\). Quel est l’ordre de \(r\) ? et celui de \(s\) ?
Écrire \(r\) comme composée de \(s\) suivie d’une autre symétrie orthogonale. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques (centre, axe, angle...) de l’isométrie \(rs\).
Donner la liste des éléments du groupe \(D_{12}\) des isométries du plan euclidien orienté qui conservent globalement l’hexagone \(E\). On n’utilisera dans les notations seulement une rotation \(r\) et une symétrie \(s\).
À l’aide de l’écriture de \(r\) comme composée de deux symétries, calculer \(sr\).
En déduire les produits \(rsrs\), \(rsr^2s\), \(r^3sr^4s\).