On s’intéresse au calcul de \(\ell\in[0;\pi]\) tel que \(\ell=\ell-\frac{1}{4}\cos(\ell)\).
On considère la méthode de point fixe suivante: \(x_0\in[0;\pi]\) et \(x_{k+1}=\phi(x_k)\) pour tout \(k\geq 0\), où \(\phi\) est la fonction définie sur l’intervalle \([0;\pi]\) par \(\phi(x)=1-\frac{1}{4}\cos(x)\).
Montrer que la méthode converge pour tout \(x_0\in[0;\pi]\).
Montrer qu’il existe une constante \(C \in ]0;1[\) telle que pour tout \(k \in \N\), \(|x_k-\ell|\leq C^k|x_0-\ell|\) et donner une valeur de \(C\).
En déduire le nombre d’itérations nécessaires pour approcher \(\ell\) à \(10^{-3}\) près.
Montrer que pour tout \(k \in \N\), \(|x_k - \ell| \leq \frac{4}{3} |x_{k+1}-x_{k}|\).
En déduire la valeur \(\varepsilon\) du contrôle de l’incrément (en tant que critère d’arrêt) pour approcher \(\ell\) à \(10^{-3}\) près.